ACM_数论

1.扩展欧几里得

求解线性方程 ax≡b(mod m)
对于实数运算下的方程 ax=b 是不是很好解决啊
如果在mod m的运算下，也有ay≡1(mod m) 这样的a的倒数存在，方程就可以求解了
我们把这样的y叫做a的逆元 记为a^-1
为什么要有乘法逆元呢？
当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。
我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。

根据bk≡1 (mod p)有bk=px+1。
k=(px+1)/b。 这里的k就是b的乘法逆元
把k代入(ak) mod p，得：
(a(px+1)/b) mod p
=((apx)/b+a/b) mod p
=[((apx)/b) mod p +(a/b)] mod p
=[(p(ax)/b) mod p +(a/b)] mod p
//p[(a*x)/b] mod p=0
所以原式等于：(a/b) mod p

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请别把b^(-1)看成倒数，这会在后面引起思维的混乱，他是逆元！！
记住b^(-1)b%p =1
更简单的证明： a/b mod p = a （bb^(-1) ) /b =ab^(-1);

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讲了挺多废话，你还是没告诉我怎么求逆元啊

ax≡1 (mod p)
ax=mp+1 //对吧 此时不含mod p
ax-mp=1 //对吧 此时不含mod p
(ax-mp) mod p = 1 mod p
ax mod p = 1 mod p //看这里的x就是我们要求的逆元了
但是对于这个问题，a知道，p知道，x是我们要求的逆元，m我不知道，该如何入手呢?
下面的ll代表long long类型

ll extGCD(ll a,ll b, ll &x,ll &y){   //计算ax+by=gcd(a,b) 中x,y的值
 	if(!b){  //b=0加个特判 ax=gcd(a,b)=a -> x=1  
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	ll gcd=extGCD(b,a%b,x,y);
	ll t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return gcd;
}

代码看完了，一万个草泥马，你这写的啥玩意啊，第一步我懂，后面讲的什么东西?
梳理一下
gcd(a , b) = gcd(b , a mod b) 没错吧 ->辗转相除法！
a*x+b*y = gcd(a , b) //嗯? 这是一个丢番图方程
= gcd(b , a mod b) //没错
= b * x1 + (a mod b) * y1 //他好像倒着用了第一步
= b * x1 + (a - a / b * b) * y1 即 //soga
ax+by = b * x1 + (a - a / b * b) * y1
化简上式，得
ax+by = ay1 - ba/by1 + bx1 ， 即
a * x + b * y
= a * y1 + b * (x1-a/b*y1)

x=y1
y=x1 - a/b*y1 

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。回头看看代码，是不是很有趣
以上推论看了别人的思考：知乎

回到求逆元的问题
ax-my=1
如何用扩展欧几里得呢

ll rev(ll a, ll mod){//求a在模mod意义下的乘法逆元 

	ll x,y; //y是多少并不关心，他只是一个倍数
	extGCD(a,mod,x,y);  //a*x+mod*y=1    gcd(a,mod)，当mod和a互素=1
	return (x%mod+mod)%mod;
}

2.组合数
除了求解线性方程，逆元的作用何在

	fact[0]=1; //预处理阶乘表
	for(int i=1;i