形式语言与自动机 复习知识点总结 CH2

2.2 确定的有穷自动机

2.2.1 确定的有穷自动机
→一个读头
→一个有穷控制器（Finite Control）
→一条输入带

2.2.2 有穷自动机的识别
在扫描输入的字符串之前, 读头在输入串的第一个字符下面, 然后从左向右， 一次一个单元格的读入字符, 移动读头, 并修改状态, 然后自动的循环这个过程, 直到扫描完整 个字符串之后, 通过有穷控制器中的当前状态, 对这个字符串进行判断, 回答有两种: 接受或 拒绝.

2.2.3 确定的有穷自动机 Deterministic Finite Automaton
A = (Q,Σ,δ,q0,F)
Q：有穷状态集
Σ：有穷输入符号集或字母表
δ：Q×Σ → Q, 状态转移函数
q0 ∈ Q：初始状态
F∈ Q：终结状态集或接受状态集
若输入串全部读入 后, 处于接受状态, 那么自动机接受这个输入串, 否则拒绝该串

2.2.4 DFA的表示
1）A五元组
2）状态转移图
3）状态转移表

状态转移图

1. 每个状态 q 对应一个节点, 用圆圈表示;
2. 状态转移 δ(q,a) = p 为一条从 q 到 p 且标记为字符 a 的有向边;
3. 开始状态 q0 用一个标有 start 的箭头表示;
4. 接受状态的节点, 用双圆圈表示.
   注意：一个状态转移图中！切记要标注起始点！不能忘！

状态转移表
5. 每个状态 q 对应一行, 每个字符 a 对应一列;
6. 若有 δ(q,a) = p, 用第 q 行第 a 列中填入的 p 表示;
7. 开始状态 q0 前, 标记箭头 → 表示;
8. 接受状态 q ∈ F 前, 标记星号 ∗ 表示
注意：不要忘记接受状态前标星号！
状态转移图使用更多

2.2.5 扩展转移函数
δ 是 Q×Σ 上的函数，所以只能处理 Σ 中的字符。

其中 a ∈ Σ, w,x ∈ Σ∗

2.2.6 DFA 的语言与正则语言

定义
若 D = (Q,Σ,δ,q0,F) 是一个 DFA, 则D 接受的语言为 L(D) = {w ∈ Σ∗ | ˆ δ(q0,w) ∈ F}.
定义
如果语言 L 是某个 DFA D 的语言, 即 L = L(D), 则称 L 是正则语言
• ∅, {ε} 都是正则语言
• 若 Σ 是字母表, Σ∗, Σn 都是 Σ 上的正则语言

非确定的有穷自动机

状态的非确定转移
• 同一个状态在相同的输入下, 可以有多个转移状态
• 自动机可以处在多个当前状态
• 使自动机的设计更容易

对 FA 的模型稍加修改, 使之对同一输入符号, 从一个状态可以有零个、一个或多个的转移,这种新模型, 称为非确定有穷自动机. 非确定的有穷自动机具有同 时处在几个状态的能力, 在处理输入串时, 几个当前状态能“并行的”跳转到下一个状态.

2.3.1 非确定性有穷自动机的形式定义

定义
非确定有穷自动机 (NFA, Nondeterministic Finite Automaton) A 为五元组
A = (Q,Σ,δ,q0,F)

1. Q : 有穷状态集;
2. Σ : 有穷输入符号集或字母表;
3. δ : Q×Σ → 2Q（子集） 状态转移函数;
4. q0 ∈ Q : 为初始状态;
5. F ⊆ Q : 为终结状态集或接受状态集.
   在形式定义上, NFA与DFA的区别是转移函数和接受方式: NFA转移函数一般为 δ(q,a) = {p1,p2,··· ,pn}; 当输入串全部读入时, NFA 所处的状态中, 只要包括 F 中的状态, 就称为接受该串.

2.3.2 扩展转移函数

2.3.3 NFA 接受的语言
定义
若 N = (Q,Σ,δ,q0,F) 是一个 NFA, 则N 接受的语言为 L(N) = {w ∈ Σ∗ | ˆ δ(q0,w)∩F 不等于 ∅}.

2.3.4 DFA 与 NFA 的等价性
每个 DFA 都是一个 NFA；
显然, NFA 接受的语言包含正则语言。下面的定理给出, NFA 也仅接受正则语言；
证明的关键表明 DFA 能够模拟 NFA, 即, 对每个 NFA, 能够构造一个等 价的 DFA. 使用一个 DFA 模拟一个 NFA 的方法是让 DFA 的状态对应于 NFA 的状态集合。

定理一
如果语言 L 被 NFA 接受, 当且仅当 L 被 DFA 接受

2.4 带有空转移的非确定有穷自动机

• 允许状态因空串 ε 而转移, 即不消耗输入字符就发生状态的改变
• 使自动机的设计更容易

2.4.1 形式定义
带空转移非确定有穷自动机的形式定义

定义
带空转移非确定有穷自动机 (ε-NFA) A 为五元组——A = (Q,Σ,δ,q0,F)

1. Q : 有穷状态集;
2. Σ : 有穷输入符号集或字母表;
3. δ : Q×(Σ∪{ε}) → 2Q, 转移函数;
4. q0 ∈ Q : 初始状态;
5. F ⊆ Q : 终结状态集或接受状态集.

注意：此后, 不再明确区分 ε-NFA 和 NFA, 而认为它们都是 NFA

2.4.2 ε-闭包
状态的 ε-闭包
定义.
状态 q 的ε-闭包 (ε-Closure), 记为 Eclose(q), 表示从 q 经过 ε 序列可达的全部状态集 合, 递归定义为:

状态集合的 ε-闭包

2.4.3 扩展转移函数

2.4.4 ε-NFA 的语言
定义

2.4.5 ε-NFA 与 DFA 等价性

**定理 2. **
如果语言 L 被 ε-NFA 接受, 当且仅当 L 被 DFA 接受