《算法笔记》9. 培养贪心思维、贪心算法深度实践

1 贪心算法

1.1 基本概念

1、最自然智慧的算法

2、用一种局部最功利的标准，总是能做出在当前看来是最好的选择

3、难点在于证明局部最优解最功利的标准可以得到全局最优解

4、对于贪心算法的学习主要是以增加阅历和经验为主

1.2.1 贪心算法解释

正例：通过一个例子来解释，假设一个数组中N个正数，第一个挑选出来的数乘以1，第二个挑选出来的数乘以2，同理，第N次挑选出来的数乘以N，总的加起来是我们的分数。怎么挑选数字使我们达到最大分数？

数组按从小到大的顺序排序，我们按顺序依次挑选，最终结果就是最大的。本质思想是因子随着挑选次数的增加会增大，我们尽量让大数去结合大的因子。

贪心算法有时是无效的，后面会贪心算法无效的例子

1.2.2 贪心算法的证明问题

如何证明贪心算法的有效性？

一般来说，贪心算法不推荐证明，很多时候证明是非常复杂的。通过下面例子来说明贪心算法证明的复杂性，从头到尾讲一道利用贪心算法求解的题目。

例子：给定一个由字符串组成的数组strs，必须把所有的字符串拼接起来，返回所有可能的拼接结果中，字典序最小的结果。

字典序概念：直观理解，两个单词放到字典中，从头开始查找这个单词，哪个先被查找到，哪个字典序小。

字典序严格定义，我们把字符串当成k进制的数，a-z当成26进制的正数，字符长度一样，abk>abc，那么我们说abk的字典序更大。字符长度不一样ac和b，那么我们要把短的用0补齐，0小于a的accil，那么aca即可比较出来大小。

Java中字符串的ComparTo方法，就是比较字典序。

本题思路1：按照单个元素字典序贪心，例如在[ac,bk,sc,ket]字符串数组中，我们拼接出来最终的字符串字典序最小，那么我们依次挑选字典序最小的进行拼接的贪心策略得到acbkketsc。

但是这样的贪心不一定是正确的，例如[ba,b]按照上述思路的贪心结果是bba，但是bab明显是最小的结果

本题思路2：两个元素x和y，x拼接y小于等于x拼接y，那么x放前，否则y放前面。例如x=b,y=ba。bba大于bab的字典与，那么ba放前面

证明：

我们把拼接当成k进制数的数学运算，把a-z的数当成26进制的数，'ks'拼接'ts'实质是ks * 26^2 + te。

目标先证明我们比较的传递性：证明a拼接b小于b拼接a，b拼接c小于等于c拼接b，推出a拼接c小于等于c拼接a。

a拼接b等于a乘以k的b长度次方 + b。我们把k的x长度次方这个操作当成m(x)函数。所以：

a * m(b) + b <= b * m(a) + a  

b * m(c) + c <= c * m(b) + b 

=> 

a * m(b) * c <= b * m(a) * c + ac - bc

b * m(c) * a + ca - ba <= c * m(b) * a 

=>

b * m(c) * a + ca - ba <= b * m(a) * c + ac - bc

=> 

m(c) * a + c <= m(a) * c + a

至此，我们证明出我们的排序具有传递性质。

根据我们排序策略得到的一组序列，证明我们任意交换两个字符的位置，都会得到更大的字典序。

例如按照思路二得到的amnb序列，我们交换a和b。我们先把a和m交换，由于按照思路二得到的序列，满足a.m <= m.a 那么所以manb > amnb，同理得到amnb < bmna。

再证明任意三个交换都会变为更大的字典序，那么最终数学归纳法，得到思路二的正确性

所以贪心算法的证明实质是比较复杂的，我们大可不必每次去证明贪心的正确性

package class09;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;
import java.util.HashSet;

public class Code01_LowestLexicography {

        // 暴力法穷举，排列组合
	public static String lowestString1(String[] strs) {
		if (strs == null || strs.length == 0) {
			return "";
		}
		ArrayList all = new ArrayList<>();
		HashSet use = new HashSet<>();
		process(strs, use, "", all);
		String lowest = all.get(0);
		for (int i = 1; i < all.size(); i++) {
			if (all.get(i).compareTo(lowest) < 0) {
				lowest = all.get(i);
			}
		}
		return lowest;
	}

	// strs里放着所有的字符串
	// 已经使用过的字符串的下标，在use里登记了，不要再使用了
	// 之前使用过的字符串，拼接成了-> path
	// 用all收集所有可能的拼接结果
	public static void process(String[] strs, HashSet use, String path, ArrayList all) {
	        // 所有字符串都是用过了
		if (use.size() == strs.length) {
			all.add(path);
		} else {
			for (int i = 0; i < strs.length; i++) {
				if (!use.contains(i)) {
					use.add(i);
					process(strs, use, path + strs[i], all);
					use.remove(i);
				}
			}
		}
	}

	public static class MyComparator implements Comparator {
		@Override
		public int compare(String a, String b) {
			return (a + b).compareTo(b + a);
		}
	}

        // 思路二，贪心解法
	public static String lowestString2(String[] strs) {
		if (strs == null || strs.length == 0) {
			return "";
		}
		Arrays.sort(strs, new MyComparator());
		String res = "";
		for (int i = 0; i < strs.length; i++) {
			res += strs[i];
		}
		return res;
	}

	// for test
	public static String generateRandomString(int strLen) {
		char[] ans = new char[(int) (Math.random() * strLen) + 1];
		for (int i = 0; i < ans.length; i++) {
			int value = (int) (Math.random() * 5);
			ans[i] = (Math.random() <= 0.5) ? (char) (65 + value) : (char) (97 + value);
		}
		return String.valueOf(ans);
	}

	// for test
	public static String[] generateRandomStringArray(int arrLen, int strLen) {
		String[] ans = new String[(int) (Math.random() * arrLen) + 1];
		for (int i = 0; i < ans.length; i++) {
			ans[i] = generateRandomString(strLen);
		}
		return ans;
	}

	// for test
	public static String[] copyStringArray(String[] arr) {
		String[] ans = new String[arr.length];
		for (int i = 0; i < ans.length; i++) {
			ans[i] = String.valueOf(arr[i]);
		}
		return ans;
	}

	public static void main(String[] args) {
		int arrLen = 6;
		int strLen = 5;
		int testTimes = 100000;
		String[] arr = generateRandomStringArray(arrLen, strLen);
		System.out.println("先打印一个生成的字符串");
		for (String str : arr) {
			System.out.print(str + ",");
		}
		System.out.println();
		System.out.println("test begin");
		for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
			String[] arr1 = generateRandomStringArray(arrLen, strLen);
			String[] arr2 = copyStringArray(arr1);
			if (!lowestString1(arr1).equals(lowestString2(arr2))) {
				for (String str : arr1) {
					System.out.print(str + ",");
				}
				System.out.println();
				System.out.println("Oops!");
			}
		}
		System.out.println("finish!");
	}

}

全排列的时间复杂度为：O(N!)

每一种贪心算法有可能都有属于他自身的特有证明，例如哈夫曼树算法，证明千变万化

贪心策略算法，尽量不要陷入复杂的证明

1.2 贪心算法求解思路

1.2.1 标准求解过程

1、分析业务

2、根据业务逻辑找到不同的贪心策略

3、对于能举出反例的策略，直接跳过，不能举出反例的策略要证明有效性，这往往是比较困难的，要求数学能力很高且不具有统一的技巧性

1.2.2 贪心算法解题套路

1、实现一个不依靠贪心策略的解法X,可以用暴力尝试

2、脑补出贪心策略A,贪心策略B,贪心策略C......

3、用解法X和对数器，用实验的方式得知哪个贪心策略正确

4、不要去纠结贪心策略的证明

贪心类的题目在笔试中，出现的概率高达6到7成，而面试中出现贪心的概率不到2成。因为笔试要的是淘汰率，面试要的是区分度。由于贪心的解决完全取决于贪心策略有没有想对，有很高的淘汰率但是没有很好的区分度

1.3 贪心算法套路解题实战

1.3.1 例一：会议日程安排问题

一些项目要占用一个会议室宣讲，会议室不能同时容纳两个项目宣讲。给你每个项目的开始时间和结束时间，你来安排宣讲的日程，要求会议室进行宣讲的场数最多。

返回最多的宣讲场次。

思路：本题常见的几种贪心策略，一种是按照谁先开始安排谁，第二种按照持续时间短的先安排，第三种按照谁先结束安排谁。

通过验证，无需证明得出第三种贪心策略是正确的

package class09;

import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;

public class Code04_BestArrange {

	public static class Program {
		public int start;
		public int end;

		public Program(int start, int end) {
			this.start = start;
			this.end = end;
		}
	}

        // 暴力穷举法，用来做对数器
	public static int bestArrange1(Program[] programs) {
		if (programs == null || programs.length == 0) {
			return 0;
		}
		return process(programs, 0, 0);
	}

	// 还剩什么会议都放在programs里
	// done 之前已经安排了多少会议的数量
	// timeLine表示目前来到的时间点是多少
	
	// 目前来到timeLine的时间点，已经安排了done多的会议，剩下的会议programs可以自由安排
	// 返回能安排的最多会议数量
	public static int process(Program[] programs, int done, int timeLine) {
	        // 没有会议可以安排，返回安排了多少会议的数量
		if (programs.length == 0) {
			return done;
		}
		// 还有会议可以选择
		int max = done;
		// 当前安排的会议是什么会，每一个都枚举
		for (int i = 0; i < programs.length; i++) {
			if (programs[i].start >= timeLine) {
				Program[] next = copyButExcept(programs, i);
				max = Math.max(max, process(next, done + 1, programs[i].end));
			}
		}
		return max;
	}

	public static Program[] copyButExcept(Program[] programs, int i) {
		Program[] ans = new Program[programs.length - 1];
		int index = 0;
		for (int k = 0; k < programs.length; k++) {
			if (k != i) {
				ans[index++] = programs[k];
			}
		}
		return ans;
	}

        // 解法2：贪心算法
	public static int bestArrange2(Program[] programs) {
		Arrays.sort(programs, new ProgramComparator());
		// timeline表示来到的时间点
		int timeLine = 0;
		// result表示安排了多少个会议
		int result = 0;
		// 由于刚才按照结束时间排序，当前是按照谁结束时间早的顺序遍历
		for (int i = 0; i < programs.length; i++) {
			if (timeLine <= programs[i].start) {
				result++;
				timeLine = programs[i].end;
			}
		}
		return result;
	}

        // 根据谁的结束时间早排序
	public static class ProgramComparator implements Comparator {

		@Override
		public int compare(Program o1, Program o2) {
			return o1.end - o2.end;
		}

	}

	// for test
	public static Program[] generatePrograms(int programSize, int timeMax) {
		Program[] ans = new Program[(int) (Math.random() * (programSize + 1))];
		for (int i = 0; i < ans.length; i++) {
			int r1 = (int) (Math.random() * (timeMax + 1));
			int r2 = (int) (Math.random() * (timeMax + 1));
			if (r1 == r2) {
				ans[i] = new Program(r1, r1 + 1);
			} else {
				ans[i] = new Program(Math.min(r1, r2), Math.max(r1, r2));
			}
		}
		return ans;
	}

	public static void main(String[] args) {
		int programSize = 12;
		int timeMax = 20;
		int timeTimes = 1000000;
		for (int i = 0; i < timeTimes; i++) {
			Program[] programs = generatePrograms(programSize, timeMax);
			if (bestArrange1(programs) != bestArrange2(programs)) {
				System.out.println("Oops!");
			}
		}
		System.out.println("finish!");
	}

}

1.3.2 例二：居民楼路灯问题

给定一个字符串str，只由‘X’和‘.’两中国字符构成。

‘X’表示墙，不能放灯，也不需要点亮，‘.’表示居民点，可以放灯，需要点亮。

如果灯放在i位置，可以让i-1，i和i+1三个位置被点亮，返回如果点亮str中所需要点亮的位置，至少需要几盏灯

例如： X..X......X..X. 需要至少5盏灯

package class09;

import java.util.HashSet;

public class Code02_Light {

        // 纯暴力，用来做对数器。点的位置放灯和不放灯全排列
	public static int minLight1(String road) {
		if (road == null || road.length() == 0) {
			return 0;
		}
		return process(road.toCharArray(), 0, new HashSet<>());
	}

	// str[index....]位置，自由选择放灯还是不放灯
	// str[0..index-1]位置呢？已经做完决定了，那些放了灯的位置，存在lights里
	// 要求选出能照亮所有.的方案，并且在这些有效的方案中，返回最少需要几个灯
	public static int process(char[] str, int index, HashSet lights) {
	        // index来到结束位置的时候，当前方案准备结束
		if (index == str.length) { 
		        // 检查当前方案能否把所有居民楼都照亮
			for (int i = 0; i < str.length; i++) {
			        // 当前位置是点的话
				if (str[i] != 'X') { 
					if (!lights.contains(i - 1) 
							&& !lights.contains(i) 
							&& !lights.contains(i + 1)) {
						return Integer.MAX_VALUE;
					}
				}
			}
			// 经过for循环的检查，任意点的位置都被照亮了，返回当前有效的一种解
			return lights.size();
		} else { // str还没结束
			// i位置不管是  X 或者 . 都可以选择不放灯
			int no = process(str, index + 1, lights);
			int yes = Integer.MAX_VALUE;
			// 只有在i位置是.的时候，才可以选择放灯
			if (str[index] == '.') {
				lights.add(index);
				yes = process(str, index + 1, lights);
				lights.remove(index);
			}
			return Math.min(no, yes);
		}
	}

        // 贪心解法
	public static int minLight2(String road) {
		char[] str = road.toCharArray();
		// index从0出发
		int index = 0;
		// 当前灯的个数
		int light = 0;
		while (index < str.length) {
		        // 当前i位置是X，直接跳到下一个位置做决定
			if (str[index] == 'X') {
				index++;
			// i 位置是 . 不管i+1是X还是.当前区域需要放灯
			} else { 
				light++;
				// 接下来没字符了，遍历结束
				if (index + 1 == str.length) {
					break;
				} else {
				        // 如果i+1位置是X，在i位置放灯，去i+2位置做决定
					if (str[index + 1] == 'X') {
						index = index + 2;
					// i位置是. i+1也是. 那么不管i+2是什么，都在i+1位置放灯，到i+3去做决定
					} else {
						index = index + 3;
					}
				}
			}
		}
		return light;
	}

	// for test
	public static String randomString(int len) {
		char[] res = new char[(int) (Math.random() * len) + 1];
		for (int i = 0; i < res.length; i++) {
			res[i] = Math.random() < 0.5 ? 'X' : '.';
		}
		return String.valueOf(res);
	}

	public static void main(String[] args) {
		int len = 20;
		int testTime = 100000;
		for (int i = 0; i < testTime; i++) {
			String test = randomString(len);
			int ans1 = minLight1(test);
			int ans2 = minLight2(test);
			if (ans1 != ans2) {
				System.out.println("oops!");
			}
		}
		System.out.println("finish!");
	}
}

1.3.3 例三：哈夫曼树问题

一根金条切成两半，是需要花费和长度值一样的铜板的。

比如长度为20的金条，不管怎么切，都需要花费20个铜板。一群人想整分整块金条，怎么分最省铜板？

例如：给定数组[10,20,30]，代表一共三个人，整块金条长度为60，金条要分成10,20,30三个部分。

如果先把长度为60的金条分成10和50，花费60；再把长度为50的金条分成20和30，花费50；一共需要花费110个铜板。但是如果先把长度为60的金条分成30和30，花费60;再把30的金条分成10和20,花费30；一共花费90个铜板。

输入一个数组，返回分割的最小代价。

小根堆，大根堆，排序。是贪心策略最常用的手段，coding代码量很少。因为堆天然就具备根据我们自定义的排序规则重新组织数据

package class09;

import java.util.PriorityQueue;

public class Code03_LessMoneySplitGold {

        // 暴力解法
	public static int lessMoney1(int[] arr) {
		if (arr == null || arr.length == 0) {
			return 0;
		}
		return process(arr, 0);
	}

	public static int process(int[] arr, int pre) {
		if (arr.length == 1) {
			return pre;
		}
		int ans = Integer.MAX_VALUE;
		// 穷举任意两个结合后的后续
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
				ans = Math.min(ans, process(copyAndMergeTwo(arr, i, j), pre + arr[i] + arr[j]));
			}
		}
		return ans;
	}

	public static int[] copyAndMergeTwo(int[] arr, int i, int j) {
		int[] ans = new int[arr.length - 1];
		int ansi = 0;
		for (int arri = 0; arri < arr.length; arri++) {
			if (arri != i && arri != j) {
				ans[ansi++] = arr[arri];
			}
		}
		ans[ansi] = arr[i] + arr[j];
		return ans;
	}

        // 贪心解法，建立一个小根堆，把所有数扔进去
	public static int lessMoney2(int[] arr) {
		PriorityQueue pQ = new PriorityQueue<>();
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			pQ.add(arr[i]);
		}
		int sum = 0;
		int cur = 0;
		while (pQ.size() > 1) {
		        // 每一次弹出两个数，合并成一个数
		        // 合成的数一定输非叶子节点
			cur = pQ.poll() + pQ.poll();
			// 把合成的数累加到sum中去
			sum += cur;
			// 把合成的数加入小根堆中
			pQ.add(cur);
		}
		return sum;
	}

	// for test
	public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
		int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			arr[i] = (int) (Math.random() * (maxValue + 1));
		}
		return arr;
	}

	public static void main(String[] args) {
		int testTime = 100000;
		int maxSize = 6;
		int maxValue = 1000;
		for (int i = 0; i < testTime; i++) {
			int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
			if (lessMoney1(arr) != lessMoney2(arr)) {
				System.out.println("Oops!");
			}
		}
		System.out.println("finish!");
	}

}

1.3.4 例四：项目花费和利润问题

输入：正数数组costs，正数数组profits,正数K,正数M

costs[i]表示i号项目的花费，profits[i]表示i号项目在扣除花费之后还能挣到的钱（利润）

K表示你只能串行的最多K个项目，M表示你的初始资金。

说明：每做完一个项目，马上获得收益，可以支持你去做下一个项目。不能并行的做项目。

输出：你最后获得的最大钱数。

package class09;

import java.util.Comparator;
import java.util.PriorityQueue;

public class Code05_IPO {

	public static int findMaximizedCapital(int K, int W, int[] Profits, int[] Capital) {
	        // 由花费组织的小根堆
		PriorityQueue minCostQ = new PriorityQueue<>(new MinCostComparator());
		// 由利润组织的大根堆
		PriorityQueue maxProfitQ = new PriorityQueue<>(new MaxProfitComparator());
		
		// 把所有项目加入到由花费组织的小根堆里
		for (int i = 0; i < Profits.length; i++) {
			minCostQ.add(new Program(Profits[i], Capital[i]));
		}
		// 做k轮项目
		for (int i = 0; i < K; i++) {
		        // 小根堆不为空，且堆顶的花费被我当前启动资金cover住
			while (!minCostQ.isEmpty() && minCostQ.peek().c <= W) {
			// 小根堆的堆顶扔到大根堆中去
			maxProfitQ.add(minCostQ.poll());
			}
			// 大根堆没有可以做的项目，直接返回所有钱数
			if (maxProfitQ.isEmpty()) {
				return W;
			}
			// 大根堆不为空，堆顶元素的利润直接加到我们的总钱数上
			// 大根堆弹出堆顶元素
			W += maxProfitQ.poll().p;
		}
		return W;
	}

        // 项目实体类
	public static class Program {
		public int p;
		public int c;

		public Program(int p, int c) {
			this.p = p;
			this.c = c;
		}
	}

        // 根据花费组织的小根堆的比较器
	public static class MinCostComparator implements Comparator {

		@Override
		public int compare(Program o1, Program o2) {
			return o1.c - o2.c;
		}

	}

        // 根据利润组织的大根堆的比较器
	public static class MaxProfitComparator implements Comparator {

		@Override
		public int compare(Program o1, Program o2) {
			return o2.p - o1.p;
		}

	}

}