网络流24题题解合集【不定期更新】【附常见套路分析】

【施工中】

网络流24题题解及常见套路总结

目录

点击链接进入各题题解，常见套路总结见下方

问题名称	问题模型	转化模型
飞行员配对方案问题	二分图最大匹配	最大流
最小路径覆盖问题	有向无环图最小路径覆盖	最大流
魔术球问题	有向无环图最小路径覆盖	最大流
圆桌问题	二分图多重匹配	最大流
最长递增子序列问题	最多不相交路径	最大流
试题库问题	二分图多重匹配	最大流
家园	分层图最大流	最大流
太空飞行计划问题	最大权闭合图	最小割
方格取数问题	二分图点权最大独立集	最小割
骑士共存问题	二分图最大独立集	最小割

前置知识清单

掌握：

网络流的性质

最大流的EK与Dinic算法，费用流的EK算法

Dijkstra,SPFA最短路算法

了解定义：

二分图相关定义

最小割定义，最小割最大流定理

最大流

二分图最大匹配与多重匹配

定义：

二分图匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不相交，则称M是一个匹配。二分图最大匹配则是使边数最多的匹配

二分图多重匹配：每个节点不一定只与一条边相连，而是限制了最多连的边数（当限制为1时退化为二分图最大匹配

建图方法

对于一张二分图，我们可以从源点S向左部节点连有向边，右部节点向汇点T连有向边，原二分图每条边看作从左到右的有向边

假如把所有边的流量设为1，则二分图的最大匹配数就等于S到T最大流，所有有流经过的边为匹配边(记住这一点，因为不少题目要求输出方案)

如果要求二分图多重匹配，则只需把S向左部点的有向边容量设为左部点匹配数量上限，右部点同理

二分图一般匹配：飞行员配对方案问题

二分图多重匹配：圆桌问题 试题库问题

最小路径覆盖

最小路径覆盖定义：在一个有向无环图中，找出最少的路径，使得这些路径经过了所有的点。

最小路径覆盖分为最小不相交路径覆盖和最小可相交路径覆盖，区别是这些路径是否可以相交

把原图的每个点u拆成两个点u1,u2，如果有一条有向边a->b,则连边a2->b1，容易发现这是一个二分图

最小路径覆盖=原图节点数-新图最大匹配数

证明：

一开始每个点都是一条路径，每次找一条匹配边，代表合并两条路径

由于路径不相交（即每个点的入度和出度至少有一个为1），所以二分图上的边也不相交（如果相交则说明某个点的入度或出度大于1），这正好是匹配的定义

每条匹配边代表答案-1，所以最小路径覆盖=原图节点数-新图最大匹配数

最小路径覆盖：最小路径覆盖问题 魔术球问题

最多不相交路径

这种问题变化比较多，但都能表示成以下形式：已知一些路径，每个节点只能属于一条路径，求能选择多少条路径使它们不相交主要的方法是拆点，将一个点拆成两个，然后连边，容量表示该点最多经过次数

最长递增子序列问题

最小割

最大权闭合子图

定义：有一个有向图，每一个点都有一个权值，选择一个权值和最大的子图，使得每个点的后继都在子图里面，这个子图就叫最大权闭合子图。

如图，括号外的为点的编号，括号内的为点的权值,则闭合子图有{1,2,3,4} {2,4} {3} {4}{空},最大的闭合子图是{1,2,3,4},权值和为9

建图方法：

从源点s向每个正权点连一条容量为权值的边，每个负权点向汇点t连一条容量为权值的绝对值的边，有向图原来的边容量全部为无限大。

最大权闭合子图=所有正权点之和-最小割

证明：

关键性质：如果s与i有边，表示i在子图中。如果i与t有边，表示i不在于子图中。.即：割掉s与i表示不选i,割掉i与t表示选i**

引理1:原图之间的边一定不会被割掉

边权为无穷大，当然不会被选进最小割

引理2：只有s到t不联通时，才得到最大权闭合子图

     反证法：若s到t连通，则一定存在节点i,j使s到i有边，i到j有边（引理1），j到t有边

     而根据性质1:i在子图中，j不在子图中，这与最大权闭合子图的定义矛盾，证毕

由引理2可得，图的一个割就是一个闭合子图

由于一个割的边权和=不选的正权点+选的负权点绝对值=不选的正权点-选的负权点

闭合子图=选的正权点+选的负权点

    =所有正权和-不选的正权点+选的负权点

    =所有正权和-(不选的正权点-选的负权点)

    =所有正权和-割的边权和

显然割的边权和最小的时候得到最大权闭合子图，证毕

应用:

当问题中出现一种冲突时，就可以采用最大权闭合子图。具体来说，对于一个事件，只能得到a收益和b收益之中的一种。我们就把a收益作为正权点，b收益作为负权点，跑最大权闭合子图

二分图独立集

其实二分图独立集是特殊的一种最大权闭合子图

我们根据上文“收益”的思想，把选某个点的收益看为1，左部节点为正权点，右部节点为负权点。按照最大权闭合子图的方式建图，答案为正权和-最小割=n-最小割=n-最大流。我们发现把最大权闭合子图中INF的边换成1也不影响答案，因为图中其他边的容量都为1

这样图就变成了二分图匹配中的图，最大流=二分图最大匹配。所以二分图最大独立集=n-二分图最大匹配

最小割例题：

方格取数问题 骑士共存问题 软件补丁问题

分层图最短路与最大流

先放一道纯最短路的题(不知道该放在哪里)：

分层图最短路

分层图是一种状态是多维的的图

它是由一个图不断复制形成的

这就是一个分层图，它由图{1,2,3}复制了三次形成

通常情况下须要用到分层图的题目都有一些操作，操作可能会改变边权或者连边方式，我们的解决方法就是把原图复制，然后修改，并在不同层次图的点之间连起新的边。 每一层图都是由原图复制来的。因此这些不同层次的图的结构和性质类似

在实现上，邻接表里不一定要存储所有的边，可以只存储原图，但是一些数组用二维数组来表示，如\(dist[i][u]\)表示第i层的u号节点

这是分层图上的spfa算法的(伪)代码

struct node{
    int floor;//层数
    int num;//节点编号
}
queueq;
int dist[maxl][maxn];//距离
int inq[maxl][maxn];//是否在队列种
int spfa(node s,node t){
   q.push(s);
   memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
   dist[s.floor][s.num]=0;
    while(!q.empty()){
        node x=q.front();
        q.pop();
        inq[x.floor][x.num]=0;
        for(y : 从x可以到达的节点){
            if(dist[y.floor][y.num]>dist[y.floor][y.num]+w){//w为转移代价
                dist[y.floor][y.num]=dist[y.floor][y.num]+w;
                if(!inq[y.floor][y.num]){
                    inq[y.floor][y.num]=1;
                    q.push(y);
                }
            }
        }
    }
    return dist[t.floor][t.num];
}

很多时候分层图最短路也可以通过BFS解决，但SPFA会稍快一些

分层图最大流

费用流

二分图带权匹配

最大权不相交路径

线性规划网络流优化

其他常用建图技巧

转载于:https://www.cnblogs.com/birchtree/p/10304793.html