基于自适应控制算法的温控系统研究

第1章 前言

1.1 问题描述

 

上图是一个温度虚拟被控对象和虚拟输入输出通道示意图。

虚拟被控对象的数学模型结构为：

   

其中y为热电偶测量输出（测量范围最大300℃），u为输入蒸汽阀门开度（数据范围0至100），系统存在白色噪声。采用自校正控制方法编程实现对本系统进行控制， 要求：请用你所学自校正控制方法编程实现对其控制，要求设定值为阶跃100I(t)时稳态控制误差不超过满量程的3%，同时当点“加脉冲干扰”按钮时，系统响应曲线应能很快恢复到设定值。

1.2 开发环境简介

本课题在Visual Studio 2012开发环境下进行，基于C#语言开发完成。VS是一个基本完整的开发工具集，它包括了整个软件生命周期中所需要的大部分工具，如UML工具、代码管控工具、集成开发环境(IDE)等。C#语言是一种精确、简单、类型安全、面向对象的语言。它界面设计简单，效率高，可以大大缩短程序的开发周期。C#完全面向对象，支持分布式，具有多线程，易于学习，开发效率高、代码易维护等优点，C#具有内存自动回收机制，无需显示释放资源，能很好地解决内存泄漏问题。

1.3 软件界面简介

为了更加清楚明晰地显示控制过程，本课题通过C#语言设计了如下界面（图1.3-1），整个界面包括：

（1）算法选择栏，其中包含本次课题所用到的三种自校正算法：非加权最小方差自校正算法、加权最小方差自校正算法和极点配置自校正算法

（2）信息显示图，显示控制过程中的控制量(u)，输出量(y)，控制误差(e)和超调量(o)；

（3）参数显示表，显示控制过程中的参数值；

（4）算法介绍框，显示选择的算法简介；

（5）开始和暂停控制键；

右侧则使用折线图更加直观地展示整个控制的动态过程和参数的变化。

 

图1.3-1 软件界面

第2章 数学模型结构和采样周期的确定

2.1 采样周期的确定

2.1.1 采样周期的选取原则

计算机控制系统是利用离散的信号进行控制运算，因此需要考虑连续信号所包含的信息能否由离散信号表示，或者说离散信号能否一定程度上代表原来的连续信号，这就涉及到采样周期T的选取问题。

在计算机控制系统中，采样周期T是一个重要的参数，它的选择将直接影响到系统的控制效果。

香农采样定理（）给出了采样周期的上限。满足这一定理，采样信号才可以恢复或近似地恢复为原模拟信号，而不丢失主要的信息。在这个限制范围内，采样周期越小，越能大大程度地还原原信号，采样数据控制系统的性能越接近于连续-时间控制系统。

在选取采样周期时，主要需要考虑一下几方面的因素：

（1）闭环系统对给定信号的跟踪，要求采样周期要小。

（2）从抑制扰动的要求来说，采样周期应该选择得小些。

（3）从执行元件的要求来看，有时要求输入控制信号要保持一定的宽度。

（4）从计算机精度考虑，采样周期不宜过短。

（5）从系统成本上考虑，希望采样周期越长越好。

（6）从控制器的实现原理来考虑，在求参数估计值时，为防止出现病态方程组，采样周期T应该取得大一些。

一般情况下，计算机控制系统的采样周期T可以按照一下的原则进行选取：

(1)对于最小相位系统，应有： (为最小时间常数)；

(2)对于大时延系统，应有 (为时滞参数)；

(3)对于小时延系统，应有。

由于被控对象是二阶惯性纯滞后环节，属于大时延系统，所以采样周期应选取为：。

2.1.2 实际过程中采样周期的确定

由上述分析可知，采样周期T应选取为时滞参数，而时滞参数可以根据开始输入到开始响应的时间差来选取，即采样周期应选取为纯滞后时间。

纯滞后时间可以通过给定输入的情况下测量输出的延迟情况来确定。具体的实现过程如下：

先固定输入一个控制值（赋值为100的阶跃信号）给被控系统，等到被控系统进入稳态后再固定输入另一个控制值（赋值为200的阶跃信号），则从改变控制值开始到稳态响应值被改变的时间即为纯滞后时间。

启动control_object.exe文件，当给定输入为0时，可以发现被控对象的输出接近于0。由于存在干扰，故被控对象的输出会在0上下浮动，但可以发现浮动的范围不会超过0.05。故当改变控制值后响应值首次大于0.05时认为稳态响应值开始被改变。

下图为测量纯滞后时间是的被控对象输出曲线图：

 

经编程测量被控对象的纯滞后时间为5.8s，故采样周期选取为T=5.8s。

 

2.2 数学模型结构的确定

被控对象的数学模型为：

该温度被控对象是一个典型的二阶惯性纯滞后系统。

计算机控制属于离散控制，所以首先要对被控对象进行Z变换离散化处理，并且在变换前需要给被控对象串联一个零阶保持器： 

2-1

 

由上述分析可知，控制系统的采样周期T取和纯滞后时间相同，即：=5.8s。

具体Z变换步骤如下所示：

2.2-1

令：

2.2-2

则2.2-1式可变为：

                            2.2-3

            2.2-4             

其中为时滞算子，，为白色噪声。为热电偶测量输出，u为输入蒸汽阀门开度。

 

 

 

第3章 预测模型的选取

由于被控对象是二阶惯性纯滞后环节，存在时滞d，这就使得现在的控制作用要滞后d 个周期才对输出产生影响，因此必须对输出量进行提前d 步预测，然后根据预测值来调节控制值。

由2.2中Z变换结果的2.2-4式有：

3-1

则，上述2-5式可变为:

3-2

故系统的d步预测可表示为：

3-3

将分解成与系统输出相关与不相关两部分，令

                      3-4                 

其中

3-5

将3-4式两端同乘以 得：

3-6

将3-6、2-5代入3-2得：

3-7

此即为控制系统的一般预测模型。

将3-2、3-5代入3-3，则预测模型可表示为：

3-8

其中，

令：

 

则控制系统的一般预测模型又可以表示为：

3-9

下面来根据最小方差求最优预测估计值。

设估计误差为：

3-10

要求估计的误差的方差最小,即：

  

3-11

要使预测误差的方差为最小，只有上述不等式中取等号，令左侧第一项为零，即：

             3-12

因此步最优预测模型为：

             3-13     

将3-2、3-5代人3-13，则最优预测模型可表示为：

            3-14    

其中：

 

令：

则控制系统的一般预测模型又可以表示为：

 

 

第4章 自校正算法设计

4.1 自校正控制算法介绍

自校正控制是一种将模型参数在线辨识与控制器自动调整相结合的自适应技术。自校正控制系统主要由辨识装置、决策修正器、控制器和被控对象四部分组成，如图4-1所示。该系统内环由被控对象和可调控制器组成，外环则由参数辨识器和决策修正器所组成，其任务是辨识过程参数再按选定的设计方法综合出控制器参数，用以修改内环的控制器。这类系统的特点是必须对过程或者被控对象进行在线辨识估计，然后用对象参数估计值和事先规定的性能指标在线综合出调节器的控制参数，并根据此控制参数产生的控制作用对被控对象进行控制经过多次地辨识和综合调节参数可以使系统的性能指标趋于最优。

 

图4.1-1 自校正控制系统结构框图

自校正控制的基本原理是：

（1） 利用过程的输入和输出信号，实时在线对过程的数学模型进行辨识。

（2） 根据辨识情况修正控制策略，改变控制器的调节作用。

（3） 实时反复辨识、修正，直到控制性能指标达到或接近最优。

自校正控制设计的主要工作是集中在参数估计器和控制器的设计上：

参数估计器设计：选用参数估计算法监督模型参数及其变化，并将其变化信息传递给控制器设计（满足实时和收敛）。

控制器设计：选用性能指标—>确定控制器结构形式—>由参数估计计算控制器参数—>最终由控制器计算出控制量。

自校正控制主要采用两类控制方式。其一是基于优化性能指标来设计自校正控制系统；其二是基于常规控制策略设计自校正系统。基于优化性能指标设计的基本方法主要有最小方差控制和广义最小方差控制；基于常规性能指标设计的方法主要有极点配置、在线PID控制器设计等方法。无论哪一种方法，都需要在线进行参数估计。参数估计的方法有最小二乘法、增广最小二乘法、渐进遗忘最小二乘法、递推最小二乘估计法等。系统设计可依据两个原则进行，一是根据分离性原理，即参数估计器和控制器可以分开进行；二是确定性原理，即对于一个参数未知的受控过程，按分离性原理设计控制系统，在设计控制器时，假定系统是确定性的，过程参数是已知的。在此基础上，选择某种恰当的准则设计控制器，完成控制器的设计任务，将控制器给出。

4.2 参数辨识算法

由前面得到的系统结构模型对系统模型参数进行辨识。

由于被控对象的参数在许多情况下是未知定常的或者受各种干扰影响是慢时变的，以及考虑到计算机存储量等方面的因素，本课题采用自校正技术在线实时地对系统的参数进行辨识。

在选取辨识方法时，考虑到和极大似然法、Bayes法、模型参考辨识方法等辨识方法相比，最小二乘法原理简单，在一定条件下具有一致性、无偏性等良好的统计特性，因此本课题采取基于最小二乘原理的参数估计方法。又考虑到递推最小二乘法中存在“数据饱和”的问题，致使随着阶次的增加，系统的修正能力会越来越弱，因此此处选用渐进遗忘最小二乘法，通过合理地设置加权系数，使得新采样得到的数据权重比老数据的权重高，从而满足实际的需求。

最小二乘估计提供了一种数学方法，利用这种方法可以对实验数据实现在最小平方误差意义上的最好拟合。离散动态系统模型是以输入输出变量n阶线性差分方程的形式描述，估计其参数。

渐进遗忘最小二乘法递推公式如下：

设时不变线性定常系统测得数学模型为：

式中、为实测输入、输出序列，为不可测随机干扰序列，即过程噪声。

令参数向量：；

数据向量：，则

                      4.2-1

当进行N次采样，用矩阵形式表示，即表示成最小二乘格式

   4.2-2

 

残差为：

                      4.2-3                       

其中为估计的参数，估计准则为使下式最小：

                     4.2-4

可以求得，当J最小时，的表达式为：

                      4.25

在实际使用中，系统的输入、输出往往是逐步得到的，调节器参数的设计要求在线估计参数，利用新的信息来改善进度。一次完成算法是直接利用一批观测数据进行运算，需要占用较多的存储单元，并且耗时，所以可以使用递推最小二乘法，其基本思路是：

       4.26

具体的递推过程本文不再详细介绍，可以参见自适应控制相关书籍，其最后递推最小二乘估计算法公式为：

                    4.2-7

一般情况下，还需要加入遗忘因子。因为最新时刻的数据最能反映慢时变系统现在时刻的动态，过去的数据偏离当前的可能性大。因此应该充分重视现在的数据，将过去的数据逐渐遗忘。渐近遗忘最小二乘法的递推公式如下：

    4.2-8

式中渐近遗忘因子一般取值0.95~0.99。

4.3 自校正算法控制值计算

本次课题为达到对温度控制系统较好的控制结果，分别采用了非加权最小方差自校正控制算法、加权最小方差自校正控制算法、极点配置自校正控制算法这三种方法对系统进行控制，并对这三种算法的控制结果进行对比分析。

4.3.1 非加权最小方差自校正算法

最小方差自校正调节器是按最小输出方差为目标设计自校正控制规律，用递推最小二乘估计算法直接估计控制器参数，它是一中最简单的自校正控制器，算法简单，易于理解和实现，也是其他自校正控制算法的基础。最小方差自校正调节器适用于逆稳定系统，本文使用辨识算法识别系统数学模型结构后，经计算可知本温度被控系统是一个逆稳定系统，可以使用非加权最小方差控制算法。

已知系统的数学模型为：

假设被控对象的数学模型为：

 4.3-1

其中为时滞算子，d=2，为白色噪声；

         

                 4.3-2

                       

预测的广义输出为：

                        4.3-3

其中，   

定义为t时刻极其以前的信息对的预测，则预测误差为：

    4.3-4

取性能指标为：

4.3-5

对应该性能指标最小的最优预测为：

4.3-6

根据Doiphantine方程可得：

 ，且可得 4.3-7

                                 4.3-8

    

最优预测误差为：

   4.3-9

本文中采用隐式算法，取预测模型为

4.3-10

其中，

           4.3-11

本文采用渐近遗忘最小递推二乘法估计控制器参数，取遗忘因子，=0.001（如果取0，则第一次递推控制量会出现零除），，参数递推公式如下所示：

         4.3-12

由此可以求得控制规律为

4.3-13

其中为t+2时刻给定值。

4.3.2 加权最小方差自校正算法

由上节可知，非加权最小方差自校正控制只适合逆稳定系统，且具有性能指标对控制值无约束，可能导致控制值过大，不易实现的固有缺陷，由此提出加权最小方差自校正控制。它的基本思想是在性能指标中引入对控制的加权项，从而限制了控制作用过大的增大。另外，只要适当选择性能指标中各加权多项式，可以使非逆稳定系统稳定。它保留了最小方差自校正控制算法的简单的优点，获得了较为广泛的应用^[5]。

从前面的推导可以知道被控对象的数学模型为：

4.3-14

设指标函数J为：

4.3-15

其中，是参考输入，即希望的系统输入；、、分别为对实际输出、希望输出和控制输入的加权多项式，通常。目的是选择控制律，使J为最小，引入广义预测模型

其中， ，和分别是和的常数项。控制规律由 给出，即，其中，，系统闭环特征方程 

(1)，此时要求B稳定，只适合逆稳定系统系统，此时为非加权最小方差自校正控制。

(2)，此时适当选取可使T稳定，适合非逆稳定系统。

由数学模型

得，，。预测。

由得， 

取预测模型为：

令，，

则 。 

结合预测模型，采用渐近遗忘最小递推二乘法估计控制器参数，取遗忘因子，=0.001（如果取0，则第一次递推控制量会出现零除），，参数递推公式如下所示：

4.3-16

由此可以求得控制规律为：

4.3-17

其中,。

求解可得：

，其中为时刻给定值，取。

4.3.3 极点配置自校正算法

极点配置的主要思想是寻求一个反馈控制律，使得闭环传递函数的极点位于希望的位置。

我们设计极点配置控制率如下：

极点配置算法系统框图如下图所示：

4.3-1极点配置系统框图

闭环系统输出为：

极点配置特征方程为如下形式的Diophantine方程：

  4.3-18

设期望的输入输出表达式为：

4.3-19

和分别为期望传递函数分母多项式和分子多项式，并两者互质。式4-30中的第一项可表示为：

                          4.3-20

将分解为，为由稳定的和阻尼良好的零点组成的首一多项式，这些零点可以与控制器的极点对消；为由不稳定的和阻尼插的零点组成的多项式。上式可以写成：

                         4.3-21

由A与B互质，可知，若被对消，则应能除尽F，即，则

    4.3-22

由于对象的不稳定零点不被对消，则不可能是其因子，则被保留的零点应由反映出来，即，则闭环系统的输出为

              4.3-23

为了使闭环系统稳态输出无偏差， 可取，则   

                           4.3-24

则，。

为引入的稳定的观测器多项式，当扰动性质已知时。用最优滤波理论确定最优观测器为。

为保证Diophantine方程有唯一解，令和阶次相同，要求各多项式阶次满足下列关系：

                           4.3-25

已知数学模型为：，其中，，，，，，。

定义，在的情况下，取预测模型为：

其中为拟合误差，即：

 

令 ，则      

本文采用渐近遗忘最小递推二乘法估计控制器参数，取遗忘因子，=0.001（如果取0，则第一次递推控制量会出现零除），，参数递推公式如下所示：

                         4.3-26

期望特征方程的选择对于极点配置自校正算法来说是关键的一步，本文采用根据性能指标在连续域设计，然后再映射到Z域。从极点配置的观点出发，通常以典型的二阶系统闭环传递函数的标准形式：

4.3-27

对应的离散特征多项式为：

4.3-28

取性能指标超调量为10%，调节时间ts为30s。由公式

4.3-29

解得，取，则，取。采样周期T = 5.8s，可得

  4.3-30

在得到A,B的估计参数后，将B进行因式分解，并可以确定。

解中的方程，可得到线性方程组形式：

4.3-31

求出，G，再根据式求出F，根据式求出R。最后求出控制量:

第5章 程序框图

5.1 非加权最小方差自校正算法

非加权最小方差自校正控制算法程序框图如下：

 

 

5.2 加权最小方差自校正算法

加权最小方差自校正控制算法程序框图如下：

 

 

5.3 极点配置最小方差自校正算法

 

 

 

第6章 程序运行结果及分析

6.1 非加权最小方差自校正算法

非加权最小方差控制的控制效果图下所示：

 

图6.1-1 被控对象输出曲线图

 

图6.1-2 控制及参数曲线图

从图6.1-2可以看出，超调为3.08%，最后稳态误差为0.01%（不超过满量程的3%，符合最终要求）。同时从图6.1-2可以看出：最后稳定的参数为，即参数估计器递推出控制器数学模型为：

 

为了进一步测试非加权最小方差对被控对象控制的效果，加入脉冲干扰，控制效果如下：

 

图6.1-3 加脉冲干扰被控对象输出曲线图

 

图6.1-4 加脉冲干扰控制及参数曲线图

加脉冲干扰后的结果如上图所示。结果显示系统响应曲线能很快回到设定值附近，满足题目要求，但是在设定值附近小幅波动了一定时间。主要原因是脉冲干扰较大，直接影响了参数的估计，但最终参数还是回到了之前的值，输出也在最后达到较好的稳定效果。

由此可以看出，非加权最小方差控制，有更好的瞬态性能和稳态性能，是一种最优控制，适用于逆稳定系统。由于对控制没有加权，为了保证快速跟踪调节性能，计算出的控制值可能会很大，导致工程实现比较困难。但本课题对控制量U做了一个限幅，从而使非加权最小方差能够有较好的控制效果，但标准的非加权最小方差是不对控制量进行限幅的，这也是非加权最小方差的一个缺点。另外，非加权最小方差自校正系统只适合逆稳定系统，而且性能指标会导致控制值较大，控制值太大时在工程上不易实现。

6.2 加权最小方差自校正算法

加权最小方差控制的控制效果图如下所示：

 

图6.2-1 被控对象输出曲线图

 

图6.2-2 控制及参数曲线图

从上述控制效果可以看出，超调为3.06%，最后稳态误差为0.69%（在满量程的3%内，满足最终要求），并且控制量的变化比非加权最小方差来得更加平缓，控制效果较好。最后参数收敛值为：。参数估计器递推出控制器数学模型为：

 

为了进一步测试加权最小方差的控制效果，加入脉冲干扰，控制效果如下：

 

图6.2-3 加脉冲后被控对象输出曲线图

 

图6.2-4 加脉冲后控制及参数曲线图

上图可以看出，加入脉冲干扰后，系统很快地恢复到设定值，最后的稳态误差虽然未小于1%，但具有较好的动态性能。

加权最小方差自校正控制也是一种最优控制，适合于非逆稳定系统。由于对控制有加权，可保证控制值不会很大，因此工程实际实现相对容易一些，但是控制算法更加复杂。

由于本系统的数学模型中，同时两种算法都对控制量进行了限制，导致加权最小方差与非加权最小方差无论是算法还是结果都十分相似。两种算法估计的是同一组参数，只是控制量的计算上有一点区别。

6.3 极点配置自校正算法

可以看到，极点配置自校正算法的控制效果如下：

 

 

图6.3-1 被控对象输出曲线图

 

图6.3-2 控制及参数曲线图

从上述控制效果可以看出超调为6.4%，最后稳态误差为0.05%（在满量程的3%内，满足最后要求），控制量变化也较为平缓。参数收敛较快，最后估计的参数为：

为了进一步测试极点配置自校正算法的性能，加入脉冲干扰，控制效果如下图所示：

 

图6.3-3 加脉冲干扰后被控对象输出曲线图

 

图6.3-4 加脉冲干扰后控制及参数曲线图

可以看出，当加入脉冲干扰后，系统较快地恢复到设定值，并且最后稳态误差在1.59%左右，控制量变化也比较平滑，总体来说极点配置自校正控制算法具有较好的动态性能和稳态性能。

极点配置自校正算法能够根据需要设定期望极点的位置，具有工程概念直观、易于考虑工程约束等优点，但极点配置设计方法已不是”最优意义”下的控制。

 

 

第7章 总结

本文总共使用了三种算法对温度被控对象进行控制，每种控制算法都有其特点，下面结合所学知识和实验结果对这三种算法做出比较：

1) 非加权最小方差控制算法：

非加权最小方差控制算法是一种最优控制，适合于逆稳定系统，在实际中如果人为的进行控制量限幅，具有较好的动态性能和稳态性能，但是标准的非加权最小方差控制没有对控制量进行计权，为了保证快速调节性能，控制值可能会很大，导致工程实现比较困难，故非加权最小方差控制在保证系统动态特性时如何使性能最优比较困难。本文中对非加权最小方差控制算法的控制量进行了限幅，从而使得最后有较好的控制效果；

2) 加权最小方差控制算法：

加权最小方差控制算法也是一种最优控制，适合于非逆稳定系统。由于对控制有加权，可保证控制量不会很大，因此工程实现容易一些，但算法实现也较为复杂，且在保证系统动态特性时如何使性能最优较为困难；

3) 极点配置自校正控制算法：

极点配置自校正控制根据系统的动态性能设计系统，适合非逆稳定系统，工程上实现可能性较大一些，但这种控制不是最优控制。

从最后的控制效果来看，极点配置自校正算法和加权最小方差算法具有较好的动态性能和稳态性能，控制量输出也较为平缓，非加权最小方差控制算法较差。但从编程角度，极点配置自校正算法编程较为复杂，计算量较大，而其他两个算法编程相对容易，计算量也较小。所以需要根据实际情况选择所需要的算法。