【转】卡特兰数四个公式（简单）

公式一
递归公式
h(0)=h(1)=1
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)*h(0) (n>=2)
如果我们用这个公式显然我们要使用递归算法，那么数据一大就在时空上很麻烦

公式二
递推公式
h(n)=h(n-1)(4n-2)/(n+1)
这个公式应用递推，看上起十分和善
但对大数据呢？
我们注意到大数据的时候h(n)会很大，这时候题目一般会让你对某素数取模（当然你可以打高精度（划掉））
但你在取模过程中难保一个h(n)%mod=0
那么根据公式下面所有的数都会等于0，于是你就愉快的WA了

公式三
组合数公式1
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)
卡特兰数可以与组合数联系起来，得到上面的公式
而组合数就是一个杨辉三角，可以递推得到（这个不属于这道题的讨论范围我假装你们都会（逃））
但我们发现对于大数据你要取模，而对于除法你是没办法用膜的性质的（当然你可以应用逆元（划掉）），所以造成了麻烦

公式四
组合数公式2
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1) (n=0,1,2,…)
与组合数公式1不同这个是两个组合数的减法
减法是可以用膜的性质的，于是你可以愉快的AC了。