[HIT-FLAA]哈工大2020春形式语言与自动机复习笔记 (2)

本系列文章

• 有穷自动机
• 正则表达式
• 上下文无关文法和下推自动机
• 图灵机

1. 正则表达式

正则表达式的递归定义：

• $\epsilon$ 是一个正则表达式，表示语言 $\{\epsilon \}$ ;
• $\varphi$ 是一个正则表达式，表示空语言 $\varphi$ ;
• $\forall a\in \Sigma$，$a$ 是一个正则表达式, 表示语言 $\{a\}$ ;
• 如果 $E$ 和 $F$ 是正则表达式，表示的语言分别是 $L(E)$ 和 $L(F)$，则 $E+F,EF,E^{\ast }$ 都是正则表达式，分别表示的语言是 $L(E)\cup L(F),L(E)L(F),(L(E){)}^{\ast }$ ;
• 如果 $E$ 是正则表达式，则 $(E)$ 也是。

• 运算符优先级：括号 > 星 > 连接 > 加

• 每一个正则表达式都对应一个正则语言。

例：$L=\{w|w\in {0,1}^{\ast }andwhasnopairofconsecutive0’s\}$

解：$1^{\ast }(011^{\ast }{)}^{\ast }(0+\epsilon )$ 或 $(1+01{)}^{\ast }(0+\epsilon )$

练习：RegExp for ($\Sigma =\{0,1\}$)

1. {w | w has exactly a single 1 }
2. {w | w contains 001 }
3. {w | length(w) ≥ 3 and the third symbol is 0 }
4. What language does the RegExp ${\varphi }^{\ast }$ represent ?

2. 正则表达式和FA的等价性

1. 等价性

• 有穷自动机可以识别正则语言
• 正则表达式可以生成正则语言
• 故 有穷自动机和正则表达式等价

2. 正则表达式–>FA

正则表达式三种运算的转换：通过空转移

• 加：R+S
  

• 连接：RS
  

• 星：R*
  

例：将 (0+1)*1(0+1) 转化为FA

3. FA–>正则表达式

一些题目可以直接“看“出来，像这样：

状态消去法

但是题目太复杂了，容易丢三落四，于是使用状态消去法。过程如下：

然后每次消去一个状态，并将该状态表示的表达式添加在弧上

最后弧上得到的表达式就是该FA对应的正则表达式。

归纳法

将状态标记为 Q={1, 2, 3, …, n}

$R_{ij}^{(k)}其中0\le k\le n$：i 到 j 路径的正则表达式，且路径上没有标记超过 k 的状态

过程：按照k=0，i=j 的公式算出不经过中间状态的正则表达式，然后递推套k≥1的公式就行。

3. 正则语言的性质

1. 泵引理 (Pumping lemma)

泵引理用于证明某个语言不是正则的，它是正则语言应满足的必要条件

要证明是正则的可以使用构造DFA、NFA、ε-NFA、正则表达式的方法

正则语言的泵引理：假设 L 的是正则的，则 $\exists n$，对 $\forall w\in L$，若$|w|\ge n$，则可将 w 划分为 $w=xyz$，其中

• $|xy|\le n$
• $y\ne \epsilon (|y|\ge 1)$
• $\forall k\ge 0,x{y}^{k}z\in L$

例：证明 $L=\{0^n{1}^n|n\ge 0\}$ 不是正则的

解：假设它是正则的。由泵引理可知，一定存在一个常数n，对每个长度不小于n的$w\in L$，可以被分成3的子串 $w=xyz$，且$|xy|\le n$，$y\ne \epsilon$，$x{y}^{k}z\in L$

取 $w=0^n{1}^n\in L$，则 $w=0^n{1}^n=xyz$，由于$|xy|\le n$，故只能有 $y=0^m$，所以有 $xz=0^{n-|y|}{1}^n\in L$。

显然xz不是L中的字符串，所以矛盾，所以L不是正则的。

解题方法：上手先假设L是正则的，根据泵引理，选一个字符串w (最好是在开始的某个字符上重复了n次，即最开始是一个 $a^n$)，然后就可以泵掉 |y| 个 a，然后就不属于L了，就推出矛盾

2. 封闭性

正则语言经某些运算后得到的新语言仍是正则语言，称正则语言在这些运算下封闭。

• 并：$L\cup M$
• 交：$L\cap M$
• 补：$\overline{L}$
• 差：$L-M$
• 反：$L^R$
• 闭包(星)：$L^{\ast }$
• 连接：$LM$
• 同态：$h:{\Sigma }^{\ast }\to {\Gamma }^{\ast }h(L)=\{h(w)|w\in L\}$
• 逆同态