算法的时间复杂度与空间复杂度分析

算法的时间性能分析

1.算法消耗的时间
一个算法的执行时间是指算法中所有语句执行时间的总和。每条语句的执行时间等于该条语句的执行次数乘以执行一次所需实际时间。
由于语句的执行要由源程序编译成目标代码在执行，语句执行一次实际所需的具体时间是与据算计的软，硬件环境密切相关，故难以精确估计。
2.语句频度
度量一个算法的效率应当抛弃具体计算机条件，仅仅考虑算法本身的效率高低。
语句频度是指该语句在一个算法中重复执行的次数。一个算法的时间耗费就是该算法中所有语句频度之和。

eg：求两个n阶方正的乘积c=a*b。

#define n 100
void multi(int a[n][n],int b[n][n],int c[n][n])                   该算法每条语句的频度
{                                                                       
    for(i=0;i
        for(j=0;j
            c[i][j]=0;                                                  n^2
            for(k=0;k
                c[i][j]=c[i][j]+a[i][j]*b[i][j];                         n^3
        }
}

该算法中所有的语句频度之和为：f(n)=2n^3+3n^2+2n+1

3.算法的时间复杂度
时间复杂度其实即使算法执行次数n的某个函数f(n)，进而分析f(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。这里用”O”来表示数量级，时间复杂度的表达式为。

                                 T(n)=O(f(n))

它表示随着问题规模的n的增大，算法的执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，这称作算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。而我们一般讨论的是最坏时间复杂度，这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，分析最坏的情况以估算算法指向时间的一个上界。
4.渐近时间复杂度
算法时间复杂度和渐进算法时间复杂度在实际的算法分析过程中是不予区分的，渐进时间复杂度可以简称为时间复杂度，记为T(n)=O(f(n))。其中，通过统计算法中基本操作重复执行的次数就可近似地得到算法的执行效率，用O(n)表示，称为时间复杂度。
5.常用算法时间复杂度
O(1)常数型O(n)线性型O(n^2)平方型O(n^3)立方型
O(2^n)指数型O(log2^n)对数型O(nlog2^n)二维型

时间复杂度的分析方法：
1、时间复杂度就是函数中基本操作所执行的次数
2、一般默认的是最坏时间复杂度，即分析最坏情况下所能执行的次数
3、忽略掉常数项
4、关注运行时间的增长趋势，关注函数式中增长最快的表达式，忽略系数
5、计算时间复杂度是估算随着n的增长函数执行次数的增长趋势
6、递归算法的时间复杂度为：递归总次数 * 每次递归中基本操作所执行的次数

算法的空间性能分析

1.算法消耗的空间
一个算法的占用空间是指算法实际占用的辅助空间总和
2.算法的空间复杂度
算法的空间复杂度不计算实际占用的空间，而是算整个算法的“辅助空间单元的个数”。算法的空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费空间的数量级，它是问题规模n的函数。记作：

                          S(n)=O(f(n)) 

若算法执行时所需要的辅助空间相对于输入数据量n而言是一个常数，则称这个算法的辅助空间为O(1);
递归算法的空间复杂度：递归深度N*每次递归所要的辅助空间， 如果每次递归所需的辅助空间是常数，则递归的空间复杂度是 O(N).

下面以二分查找法和斐波那契数列分析其时间和空间复杂度，由于空间有限，所以另开一篇博客：分析二分查找法和斐波那契数列的时间和空间复杂度