[每日一题] 131. 不同的二叉搜索树(BST树、数学、动态规划、卡特兰数）

1. 题目来源

链接：不同的二叉搜索树
来源：LeetCode

2. 题目说明

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例：

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

3. 题目解析

方法一：BST性质、递归解法

• 当 n = 0 时赋为1，因为空树也算一种二叉搜索树
• 当 n = 1 时的情况可以看做是其左子树个数乘以右子树的个数，左右子树都是空树，所以 1 乘 1 还是 1
• 当 n = 2 时，由于 1 和 2 都可以为根，分别算出来，再把它们加起来即可

n = 2 的情况可由下面式子算出（这里的 dp[i] 表示当有 i 个数字能组成的 BST 的个数）：

dp[2] =  dp[0] * dp[1]　　　(1为根的情况，则左子树一定不存在，右子树可以有一个数字)

　　　　+ dp[1] * dp[0]　　  (2为根的情况，则左子树可以有一个数字，右子树一定不存在)

同理可写出 n = 3 的计算方法：

dp[3] =  dp[0] * dp[2]　　　(1为根的情况，则左子树一定不存在，右子树可以有两个数字)

　　　　+ dp[1] * dp[1]　　  (2为根的情况，则左右子树都可以各有一个数字)

 　　　  + dp[2] * dp[0]　　  (3为根的情况，则左子树可以有两个数字，右子树一定不存在)

由此可以得出卡塔兰数列的递推式为：

$$C_0=1and{C}_{n+1}=\sum _{i=0}^n{C}_i{C}_{n-i}forn\ge 0$$
LeetCode官方题解：

LeetCode 精选题解：

参见代码如下：

// 执行用时 :0 ms, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗 :8.3 MB, 在所有 C++ 提交中击败了47.18%的用户

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

方法二：卡特兰数通项公式

由卡特兰数的递推式还可以推导出其通项公式，即 C(2n,n)/(n+1)，表示在 2n 个数字中任取n个数的方法再除以 n+1，只要你还没有忘记高中的排列组合的知识，就不难写出下面的代码，注意在相乘的时候为了防止整型数溢出，要将结果 res 定义为长整型，参见代码如下：

参见代码如下：

// 执行用时 :0 ms, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗 :8.1 MB, 在所有 C++ 提交中击败了92.12%的用户

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long res = 1;
        for (int i = n + 1; i <= 2 * n; ++i) {
            res = res * i / (i - n);
        }
        return res / (n + 1);
    }
};