【运筹学】线性规划 人工变量法 阶段总结 ( 使用 人工变量法 求解 线性规划 全过程详细解析 ) ★

一、人工变量法案例

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求解线性规划 : 使用人工变量法求解线性规划 ;

$$\begin{array}{l}maxZ=3x_1+2x_2-x_3\\ \\ s.t\{\begin{array}{ll}-4x_1+3x_2+x_3\ge 4& \\ & \\ x_1-x_2+2x_3\le 10& \\ & \\ -2x_1+2x_2-x_3=-1& \\ & \\ x_j\ge 0& (j=1,2,3)\end{array}\end{array}$$

二、线性规划标准型

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参考 【运筹学】线性规划数学模型标准形式 ( 标准形式 | 目标函数转化 | 决策变量转化 | 约束方程转化 | 固定转化顺序 | 标准形式转化实例 ) 线性规划 普通形式 -> 标准形式 转化顺序说明 博客 , 先处理变量约束 , 再将不等式转为等式 , 最后更新目标函数 ;

1 . 处理约束变量 : 所有的约束变量都大于等于 $0$ , 这里无需处理 ;

2 . 将不等式转为等式 :

① 方程 $1$ 转为等式 : 方程 $1$ 是大于等于不等式 , 需要在方程左侧减去剩余变量 $x_4$ ;

$$-4x_1+3x_2+x_3-x_4=4$$

② 方程 $2$ 转为等式 : 方程 $2$ 是小于等于不等式 , 需要在方程左侧加上松弛变量 $x_5$ ;

$$x_1-x_2+2x_3+x_5=10$$

3 . 方程 $3$ 转为符合要求的等式 : 方程 $3$ 是等式 , 但是其右侧的常数小于 $0$ , 这里需要在等式两边都乘以 $-1$ , 使右侧的常数大于等于 $0$ ;

$$2x_1-2x_2+x_3=1$$

4 . 处理目标函数取最大值 : 目标函数就是取最大值 , 无需处理 ;

5 . 最终的标准形结果是 :

$$\begin{array}{l}maxZ=3x_1+2x_2-x_3\\ \\ s.t\{\begin{array}{l}-4x_1+3x_2+x_3-x_4=4\\ \\ x_1-x_2+2x_3+x_5=10\\ \\ 2x_1-2x_2+x_3=1\\ \\ x_j\ge 0(j=1,2,3,4,5)\end{array}\end{array}$$

三、添加人工变量

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将上述转化完毕的标准型的系数矩阵补全 :

$$\begin{array}{l}maxZ=3x_1+2x_2-x_3+0x_4+0x_5\\ \\ s.t\{\begin{array}{l}-4x_1+3x_2+x_3-x_4+0x_5=4\\ \\ x_1-x_2+2x_3+0x_4+x_5=10\\ \\ 2x_1-2x_2+x_3+0x_4+0x_5=1\\ \\ x_j\ge 0(j=1,2,3,4,5)\end{array}\end{array}$$

上述约束方程中没有单位阵 , 无法找到初始基可行解 , 创建初始的单纯形表 ;

上述线性规划中 , 需要找到 $3\times 3$ 的单位阵 $\left(\begin{array}{c}100\\ 010\\ 001\end{array}\right)$ , 目前只有 $x_5$ 的系数列向量是 $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ , 这里需要进行如下操作 ;

人工变量法 : 目的是人为制造单位阵 , 添加 $2$ 个或 $3$ 个人工变量 ;

• 方程 $1$ 构造变量 $x_6$ : 该变量只出现在第 $1$ 个方程中 ;

$$-4x_1+3x_2+x_3-x_4+0x_5+x_6=4$$

• 方程 $2$ 构造变量 $x7$ : 该变量只出现在第 $3$ 个方程中 ;

$$2x_1-2x_2+x_3+0x_4+0x_5+x_7=1$$

添加了人工变量后 , 变量就变成了 $7$ 个 $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6\\ x_7\end{array}\right)$ , 原来的变量只有 $5$ 个 $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)$ ; 如果解出该线性规划的 $7$ 个解 , 去掉后面的 $x_6,x_7$ 之后 , 该最优解不一定满足 $5$ 个变量的线性规划 ;

如果解出的 $7$ 个解中 , $x_6,x_7$ 都等于 $0$ , 此时该最优解的前 $5$ 个变量 , 满足最初的线性规划解 ;

引入大 $M$ : 在目标函数中 , 为 $x_6,x_7$ 加上系数 $-M$ , $M$ 是一个抽象数值 , 没有具体的值 , 其大于给定的任何一个值 ;

$$maxZ=3x_1+2x_2-x_3+0x_4+0x_5-M{x}_6-M{x}_7$$

引入大 $M$ 后最优解 $x_6,x_7$ 必须为 $0$ : 如果上述 $x_6,x_7$ 只要大于 $0$ , 即使很小 , 但是乘以一个很大的负数值 $-M$ , 也会极大降低目标函数大小 , 因此只有两个变量取值为 $0$ 时 , 才能使该解称为最优解 ;

添加 $2$ 个人工变量后 , 得到 人工变量单纯形法 线性规划模型 :

$$\begin{array}{l}maxZ=3x_1+2x_2-x_3+0x_4+0x_5-M{x}_6-M{x}_7\\ \\ s.t\{\begin{array}{l}-4x_1+3x_2+x_3-x_4+0x_5+x_6+0x_7=4\\ \\ x_1-x_2+2x_3+0x_4+x_5+0x_6+0x_7=10\\ \\ 2x_1-2x_2+x_3+0x_4+0x_5+0x_6+x_7=1\\ \\ x_j\ge 0(j=1,2,3,4,5,6,7)\end{array}\end{array}$$

其中的 $M$ 是一个很大的数值 , 没有具体的值 , 可以理解为正无穷 $+\infty$ , 具体使用单纯形法进行计算时 , 将其理解为大于给出的任意一个确定的数值 ;

四、初始单纯形表

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添加 $2$ 个人工变量后 , 得到 人工变量单纯形法 线性规划模型 :

$$\begin{array}{l}maxZ=3x_1+2x_2-x_3+0x_4+0x_5-M{x}_6-M{x}_7\\ \\ s.t\{\begin{array}{l}-4x_1+3x_2+x_3-x_4+0x_5+x_6+0x_7=4\\ \\ x_1-x_2+2x_3+0x_4+x_5+0x_6+0x_7=10\\ \\ 2x_1-2x_2+x_3+0x_4+0x_5+0x_6+x_7=1\\ \\ x_j\ge 0(j=1,2,3,4,5,6,7)\end{array}\end{array}$$

其中的 $M$ 是一个很大的数值 , 没有具体的值 , 可以理解为正无穷 $+\infty$ , 具体使用单纯形法进行计算时 , 将其理解为大于给出的任意一个确定的数值 ;

生成初始基可行表 :

$c_j$	$c_j$		$3$	$2$	$-1$	$0$	$0$	$-M$	$-M$
$C_B$ 基变量系数 (目标函数)	$X_B$ 基变量	常数 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	${\theta }_i$
$-M$ ( 目标函数 $x_6$ 系数 $c_6$ )	$x_6$	$4$	$-4$	$3$	$1$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$?$ (${\theta }_6$)
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$)	$x_5$	$10$	$1$	$-1$	$2$	$0$	$1$	$0$	$0$	$?$ ( ${\theta }_5$ )
$-M$ ( 目标函数 $x_7$ 系数 $c_7$)	$x_7$	$1$	$2$	$-2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$?$ ( ${\theta }_7$ )
${\sigma }_j$ ( 检验数 )			$?$ ( ${\sigma }_1$ )	$?$ ( ${\sigma }_2$ )	$?$ ( ${\sigma }_3$ )	$?$ ( ${\sigma }_3$ )	$0$	$0$	$0$

注意基变量顺序 : 初始基可行解的单位阵的顺序 , 是 $\left(\begin{array}{c}100\\ 010\\ 001\end{array}\right)$ , 对应的基变量顺序是 $\left(\begin{array}{c}{x}_6{x}_5{x}_7\end{array}\right)$

• $x_6$ 系数是 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

• $x_5$ 系数是 $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

• $x_7$ 系数是 $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

五、初始单纯形表 : 计算非基变量检验数

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1 . 计算非基变量 $x_1$ 的检验数 ${\sigma }_1$ :

${\sigma }_1=3-\left(\begin{array}{c}-M0-M\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ \\ 1\\ \\ 2\end{array}\right)=3-(-M\times -4+0\times 1+-M\times 2)=3-2M$

其中 $M$ 是正无穷 $+\infty$ , $3-2M$ 是负数 ;

2 . 计算非基变量 $x_2$ 的检验数 ${\sigma }_2$ :

${\sigma }_2=2-\left(\begin{array}{c}-M0-M\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ \\ -1\\ \\ -2\end{array}\right)=2-(-M\times 3+0\times -1+-M\times -2)=2+M$

其中 $M$ 是正无穷 $+\infty$ , $2+M$ 是正数 ;

3 . 计算非基变量 $x_3$ 的检验数 ${\sigma }_3$ :

${\sigma }_3=-1-\left(\begin{array}{c}-M0-M\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ \\ 2\\ \\ 1\end{array}\right)=-1-(-M\times 1+0\times 2+-M\times 1)=-1+2M$

其中 $M$ 是正无穷 $+\infty$ , $-1+2M$ 是正数 ;

4 . 计算非基变量 $x_4$ 的检验数 ${\sigma }_4$ :

${\sigma }_4=0-\left(\begin{array}{c}-M0-M\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ \\ 0\\ \\ 0\end{array}\right)=0-(-M\times -1+0\times 0+-M\times 0)=-M$

其中 $M$ 是正无穷 $+\infty$ , $-M$ 是负数 ;

六、初始单纯形表 : 最优解判定

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根据上述四个检验数 $\{\begin{array}{l}{\sigma }_1=3-2M(负数)\\ \\ {\sigma }_2=2+M(正数)\\ \\ {\sigma }_3=-1+2M(正数)\\ \\ {\sigma }_4=-M(负数)\end{array}$ 的值 , 其中 ${\sigma }_2,{\sigma }_3$ 检验数大于 $0$ , 该基可行解不是最优解 ;

只有当检验数都小于等于 $0$ 时 , 该基可行解才是最优解 ;

七、初始单纯形表 : 选择入基变量

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根据上述四个检验数 $\{\begin{array}{l}{\sigma }_1=3-2M\\ \\ {\sigma }_2=2+M\\ \\ {\sigma }_3=-1+2M\\ \\ {\sigma }_4=-M\end{array}$ 的值 , 选择检验数最大的非基变量作为入基变量 , ${\sigma }_3=-1+2M$ 最大 , 这里选择 $x_3$ ;

八、初始单纯形表 : 选择出基变量

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出基变量选择 : 常数列 $b=\left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ 1\end{array}\right)$ , 分别除以除以入基变量 $x_3$ 大于 $0$ 的系数列 $\left(\begin{array}{c}1\\ \\ 2\\ \\ 1\end{array}\right)$ , 计算过程如下 $\left(\begin{array}{c}\frac{4}{1}\\ \\ \frac{10}{2}\\ \\ \frac{1}{1}\end{array}\right)$ , 得出结果是 $\left(\begin{array}{c}4\\ \\ 5\\ \\ 1\end{array}\right)$ , 如果系数小于等于 $0$ , 该值就是无效值 , 默认为无穷大 , 不进行比较 , 选择 $1$ 对应的基变量作为出基变量 , 查看该最小值对应的变量是 $x_7$ , 选择该 $x_7$ 变量作为出基变量 ;

九、初始单纯形表 : 更新单纯形表

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$c_j$	$c_j$		$3$	$2$	$-1$	$0$	$0$	$-M$	$-M$
$C_B$ 基变量系数 (目标函数)	$X_B$ 基变量	常数 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	${\theta }_i$
$-M$ ( 目标函数 $x_6$ 系数 $c_6$ )	$x_6$	$4$	$-4$	$3$	$1$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$4$ (${\theta }_6$)
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$)	$x_5$	$10$	$1$	$-1$	$2$	$0$	$1$	$0$	$0$	$5$ ( ${\theta }_5$ )
$-M$ ( 目标函数 $x_7$ 系数 $c_7$)	$x_7$	$1$	$2$	$-2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$ ( ${\theta }_7$ )
${\sigma }_j$ ( 检验数 )			$3-2M$ ( ${\sigma }_1$ )	$2+M$ ( ${\sigma }_2$ )	$-1+2M$ ( ${\sigma }_3$ )	$-M$ ( ${\sigma }_3$ )	$0$	$0$	$0$

十、第一次迭代 : 中心元变换

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当前初始单纯形表 :

$c_j$	$c_j$		$3$	$2$	$-1$	$0$	$0$	$-M$	$-M$
$C_B$ 基变量系数 (目标函数)	$X_B$ 基变量	常数 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	${\theta }_i$
$-M$ ( 目标函数 $x_6$ 系数 $c_6$ )	$x_6$	$4$	$-4$	$3$	$1$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$4$ (${\theta }_6$)
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$)	$x_5$	$10$	$1$	$-1$	$2$	$0$	$1$	$0$	$0$	$5$ ( ${\theta }_5$ )
$-M$ ( 目标函数 $x_7$ 系数 $c_7$)	$x_7$	$1$	$2$	$-2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$ ( ${\theta }_7$ )
${\sigma }_j$ ( 检验数 )			$3-2M$ ( ${\sigma }_1$ )	$2+M$ ( ${\sigma }_2$ )	$-1+2M$ ( ${\sigma }_3$ )	$-M$ ( ${\sigma }_4$ )	$0$	$0$	$0$

中心元 : 入基变量为 $x_3$ , 出基变量为 $x_7$ , 在单纯形表中 , 入基变量与出基变量相交的位置 , 称为中心元 ;

中心元变换 : 以中心元为轴 , 作系数矩阵变换 ;

• 中心元位置变换成 $1$ ;
• 中心元对应入基变量所在列其它位置变换为 $0$ ;

当前约束方程组为 :

$$s.t\{\begin{array}{l}-4x_1+3x_2+x_3-x_4+0x_5+x_6+0x_7=4\\ \\ x_1-x_2+2x_3+0x_4+x_5+0x_6+0x_7=10\\ \\ 2x_1-2x_2+x_3+0x_4+0x_5+0x_6+x_7=1\\ \\ x_j\ge 0(j=1,2,3,4,5,6,7)\end{array}$$

方程 $3$ 变换 : 在 $2x_1-2x_2+x_3+0x_4+0x_5+0x_6+x_7=1$ 中 , $x_3$ 的系数是中心元 , 其系数需要变换成 $1$ , 其本身就是 $1$ , 方程 $3$ 等式不用进行变换 ;

方程 $2$ 变换 : 将 $x_1-x_2+2x_3+0x_4+x_5+0x_6+0x_7=10$ 等式中 $x_3$ 的系数变为 $0$ , 将 方程 $3$ 左右两端乘以 $-2$ , 与方程 $2$ 相加 ;

$$\begin{array}{l}(2x_1-2x_2+x_3+0x_4+0x_5+0x_6+x_7)\times -2+(x_1-x_2+2x_3+0x_4+x_5+0x_6+0x_7)=-2+10\\ \\ -3x_1+3x_2+0x_3+0x_4+x_5+0x_6-2x_7=8\end{array}$$

方程 $1$ 变换 : 将 $-4x_1+3x_2+x_3-x_4+0x_5+x_6+0x_7=4$ 等式中 $x_3$ 的系数变为 $0$ , 将 方程 $3$ 左右两端乘以 $-1$ , 与方程 $1$ 相加 ;

$$\begin{array}{l}(2x_1-2x_2+x_3+0x_4+0x_5+0x_6+x_7)\times -1+(-4x_1+3x_2+x_3-x_4+0x_5+x_6+0x_7)=-1+4\\ \\ -6x_1+5x_2+0x_3-x_4+0x_5+x_6-x_7=3\end{array}$$

最终方程组为 :

$$s.t\{\begin{array}{l}-6x_1+5x_2+0x_3-x_4+0x_5+x_6-x_7=3\\ \\ -3x_1+3x_2+0x_3+0x_4+x_5+0x_6-2x_7=8\\ \\ 2x_1-2x_2+x_3+0x_4+0x_5+0x_6+x_7=1\end{array}$$

十一、第一次迭代 : 单纯形表

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$x_7$ 是后添加的人工变量 , 其取值肯定是 $0$ , 这里的单纯性表中 , 可以将 $x_7$ 彻底删除 , 不再使用 ;

$c_j$	$c_j$		$3$	$2$	$-1$	$0$	$0$	$-M$	$-M$
$C_B$ 基变量系数 (目标函数)	$X_B$ 基变量	常数 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	${\theta }_i$
$-M$ ( 目标函数 $x_6$ 系数 $c_6$ )	$x_6$	$4$	$-4$	$3$	$1$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$4$ (${\theta }_6$)
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$)	$x_5$	$10$	$1$	$-1$	$2$	$0$	$1$	$0$	$0$	$5$ ( ${\theta }_5$ )
$-M$ ( 目标函数 $x_7$ 系数 $c_7$)	$x_7$	$1$	$2$	$-2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$ ( ${\theta }_7$ )
${\sigma }_j$ ( 检验数 )			$3-2M$ ( ${\sigma }_1$ )	$2+M$ ( ${\sigma }_2$ )	$-1+2M$ ( ${\sigma }_4$ )	$-M$ ( ${\sigma }_3$ )	$0$	$0$	$0$
第二次迭代	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
$-M$ ( 目标函数 $x_6$ 系数 $c_6$ )	$x_6$	$3$	$-6$	$5$	$0$	$-1$	$0$	$1$	移除	$?$ (${\theta }_6$)
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$)	$x_5$	$8$	$-3$	$3$	$0$	$0$	$1$	$0$	移除	$?$ ( ${\theta }_5$ )
$-1$ ( 目标函数 $x_3$ 系数 $c_3$)	$x_3$	$1$	$2$	$-2$	$1$	$0$	$0$	$0$	移除	$?$ ( ${\theta }_3$ )
${\sigma }_j$ ( 检验数 )			$?$ ( ${\sigma }_1$ )	$?$ ( ${\sigma }_2$ )	$0$	$?$ ( ${\sigma }_4$ )	$0$	$0$	移除

十二、第一次迭代 : 计算检验数

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1 . 计算非基变量 $x_1$ 的检验数 ${\sigma }_1$ :

${\sigma }_1=3-\left(\begin{array}{c}-M0-1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ \\ -3\\ \\ 2\end{array}\right)=3-(-M\times -6+0\times -3+-1\times 2)=5-6M$

其中 $M$ 是正无穷 $+\infty$ , $5-6M$ 是负数 ;

2 . 计算非基变量 $x_2$ 的检验数 ${\sigma }_2$ :

${\sigma }_2=2-\left(\begin{array}{c}-M0-1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ \\ 3\\ \\ -2\end{array}\right)=2-(-M\times 5+0\times 3+-1\times -2)=5M$

其中 $M$ 是正无穷 $+\infty$ , $5M$ 是正数 ;

3 . 计算非基变量 $x_4$ 的检验数 ${\sigma }_4$ :

${\sigma }_4=0-\left(\begin{array}{c}-M0-1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ \\ 0\\ \\ 0\end{array}\right)=0-(-M\times -1+0\times 0+-1\times 0)=-M$

其中 $M$ 是正无穷 $+\infty$ , $-M$ 是负数 ;

十三、第一次迭代 : 最优解判定

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根据上述三个检验数 $\{\begin{array}{l}{\sigma }_1=5-6M(负数)\\ \\ {\sigma }_2=5M(正数)\\ \\ {\sigma }_4=-M(负数)\end{array}$ 的值 , 其中 ${\sigma }_2$ 检验数大于 $0$ , 该基可行解不是最优解 ;

只有当检验数都小于等于 $0$ 时 , 该基可行解才是最优解 ;

十四、第一次迭代 : 选择入基变量

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根据上述三个检验数 $\{\begin{array}{l}{\sigma }_1=5-6M(负数)\\ \\ {\sigma }_2=5M(正数)\\ \\ {\sigma }_4=-M(负数)\end{array}$ 的值 , 选择检验数最大的非基变量作为入基变量 , ${\sigma }_2=5M$ 最大 , 这里选择 $x_2$ 作为入基变量 ;

十五、第一次迭代 : 选择出基变量

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出基变量选择 : 常数列 $b=\left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ , 分别除以除以入基变量 $x_2$ 大于 $0$ 的系数列 $\left(\begin{array}{c}5\\ \\ 3\\ \\ -2\end{array}\right)$ , 计算过程如下 $\left(\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\ \\ \frac{8}{3}\\ \\ 系数不符合要求\end{array}\right)$ , 得出结果是 $\left(\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\ \\ \frac{8}{3}\\ \\ -\end{array}\right)$ , 如果系数小于等于 $0$ , 该值就是无效值 , 默认为无穷大 , 不进行比较 , 选择 $\frac{3}{5}$ 对应的基变量作为出基变量 , 查看该最小值对应的变量是 $x_6$ , 选择该 $x_6$ 变量作为出基变量 ;

十六、第一次迭代 : 更新单纯形表

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$x_7$ 是后添加的人工变量 , 其取值肯定是 $0$ , 这里的单纯性表中 , 可以将 $x_7$ 彻底删除 , 不再使用 ;

$c_j$	$c_j$		$3$	$2$	$-1$	$0$	$0$	$-M$	$-M$
$C_B$ 基变量系数 (目标函数)	$X_B$ 基变量	常数 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	${\theta }_i$
$-M$ ( 目标函数 $x_6$ 系数 $c_6$ )	$x_6$	$4$	$-4$	$3$	$1$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$4$ (${\theta }_6$)
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$)	$x_5$	$10$	$1$	$-1$	$2$	$0$	$1$	$0$	$0$	$5$ ( ${\theta }_5$ )
$-M$ ( 目标函数 $x_7$ 系数 $c_7$)	$x_7$	$1$	$2$	$-2$	$1$