几种基本的关系代数运算方法

关系代数是一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询，作为研究关系数据语言的数学工具。¹

基本的关系代数算法

传统的集合运算

并 $\cup$

1. 要求：参与并运算的两张关系表必须具有相同的属性（列名）；
2. 运算方法：选取R、S关系表中的所有元组合并，建立新表；
3. 表达式：
   $$R\cup S=\{i|i\in R\vee i\in S\}.$$
   

交 $\cap$

1. 要求：参与交运算的两张关系表必须具有相同的属性（列名）；
2. 运算方法：选取R、S关系表中的所有相同元组，建立新表；
3. 表达式：
   $$R\cap S=\{i|i\in R\wedge i\in S\}.$$
   

差 $-$

1. 要求：参与交运算的两张关系表必须具有相同的属性（列名）；
2. 运算方法：选取R表中与S表中任意元组不同的元组，建立新表；
3. 表达式：
   $$R-S=\{i|i\in R\wedge i\notin S\}.$$
   

笛卡尔积（广义） $\times$

1. 要求：R表和S表可以拥有不同的属性（列）；
2. 运算方法：R的每一行元组后面都要跟随S的所有元组；
3. 表达式：
   $$R\times S=\{i_R{i}_S|i_R\in R\wedge i_S\in S\}.$$
   

专门的集合运算

选择 $\sigma$

1. 要求：拥有一个基于R表中属性A（列A）的逻辑表达式F；
2. 运算方法：从R表中选择符合逻辑表达式F的元组（行），建立新表；
3. 表达式：
   $$\begin{gathered} F(i)=i[A]\theta a \\ (\theta 为比较运算符,可为>,<,\ge ,\le ,=或\ne ), \\ {\sigma }_F(R)=\{i|i\in R\wedge F(i)\}. \end{gathered}$$
   

投影 $\pi$

1. 要求：所选的属性组A,B必须来源于R表的属性（列名）；
2. 运算方法：从R表中选择指定的属性组（列），建立新表；
3. 表达式：
   $${\pi }_{A,B}(R)=\{i[A,B]|i\in R\}.$$
   

象集（选择+投影）

1. 要求：所选的属性a必须来源于R表中属性（列）；
2. 运算方法：从R表中选择指定的属性a所在的行，投影出剩下的其他属性Z，建立新表；
3. 表达式：
   $${\pi }_Z({\sigma }_{A=a}(R))=\{i[Z]|i\in R\wedge i[A]=a\}.$$
   

连接 $\bowtie$

1. 要求：A、B属性组（列）必须分别为R表和S表中的属性，且具有可比性（如皆为日期属性、数值属性等）；
2. 运算方法：先使用广义笛卡尔积（见上文）算出R$\times$S，再在R$\times$S中选取符合逻辑表达式F的元组，建立新表；
3. 表达式：
   $$\begin{gathered} F(i)=i_R[A]\theta i_S[B] \\ (\theta 为比较运算符,可为>,<,\ge ,\le ,=或\ne ), \\ R\underset{F}{\bowtie }S=\{i_R{i}_S|i_R\in R\wedge i_S\in S\wedge F(i)\}. \end{gathered}$$
   

等值连接

1. 要求：在满足连接要求的前提下，逻辑表达式F中的$\theta$为“$=$”；
2. 运算方法：先使用广义笛卡尔积（见上文）算出R$\times$S，再在R$\times$S中选取表R的属性A与表S的属性B值相等的元组，建立新表；
3. 表达式：
   $$R\underset{A=B}{\bowtie }S=\{i_R{i}_S|i_R\in R\wedge i_S\in S\wedge i_R[A]=i_S[B]\}.$$
   

自然连接

1. 要求：在满足连接要求的前提下，R表和S表中必须要有相同的属性A（列A）；
2. 运算方法：先使用广义笛卡尔积（见上文）算出R$\times$S，再在R$\times$S中选取两表中属性A值相等的元组，建立新表，并删除相同属性组；
3. 表达式：
   $$R\bowtie S=\{i_R{i}_S|i_R\in R\wedge i_S\in S\wedge i_R[A]=i_S[A]\}.$$

除 $÷$

1. 要求：在满足连接要求的前提下，R表和S表中必须要有相同的属性A（列A）；
2. 运算方法：寻找S表中与R表相同的属性组X（列），在R表中寻找匹配S表属性的元组，选取含有S表中属性组X的所有属性的R表元组，再对选出的元组做关于属性X的象集（见上文）得到；
   *具体算法建议参考 关系代数运算——除法运算_Jack浩²；
3. 表达式：
   $$\begin{gathered} R÷S=\{i_R(X)|i_R\in R\wedge {\pi }_Y(S)\subseteq Y_X\} \\ (Y_X={\pi }_Z({\sigma }_{X=i_R[X]}(R))). \end{gathered}$$
   

以上大部分整理 来源于《数据库系统概论（第5版）》高等教育出版社³，如有问题请不吝赐教，谢谢

Refences

---

1. 关系代数_百度百科 ↩︎

2. 关系代数运算——除法运算_Jack浩 ↩︎

3. 《数据库系统概论（第5版）》_高等教育出版社 ↩︎