一、指数的运算及相关公式：
公式：\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)；\((a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}\)；\((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)；
注意：字母\(a、b\)的内涵；数，式都可以，且\(m，n\in R\)；
应用层次一：为换元和化简做准备，常涉及复合函数的值域问题和数列的化简求值等。
\(4^x=(2^2)^x=(2^x)^2\)；\(9^{x-1}=(3^2)^{x-1}=(3^{x-1})^2\)；\(2^x+2^x=2^{x+1}\)；
\(2^{x+1}-2^x=2^x\cdot 2-2^x=2^x(2-1)=2^x\)；\(2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1}\)；\(2^{x+1}+2^x=3\cdot 2^x\)；
应用层次二：为整体换元和化简、计算做准备。
已知\(x+x^{-1}=3\)，求值：\(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\)；\(x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}=2\sqrt{5}\)；\(x^2+x^{-2}=7\)；
例已知\(2^a=3\)，\(4^b=5\)，\(8^c=7\)，求\(8^{a+c-2b}\)的值；
法1：\(8^{a+c-2b}=\cfrac{8^a\cdot 8^c}{8^{2b}}=\cfrac{(2^a)^3\cdot 8^c}{2^{2b}\cdot (4^b)^2}=\cfrac{189}{125}\)；
法2：\(a=log_23\)，\(b=log_45\)，\(c=log_87\)，
则\(8^{a+c-2b}=\cfrac{8^a\cdot 8^c}{8^{2b}}=\cfrac{(2^3)^{log_23}\cdot 8^c}{(8^b)^2}=\cfrac{3^3\times 7}{[(2^3)^{\frac{1}{2}log_25}]^2}\)
\(=\cfrac{3^3\times 7}{2^{3log_25}}=\cfrac{27\times 7}{5^3}=\cfrac{189}{125}\)
二、对数的运算及相关公式
⑴、对数恒等式：\(a^{log_aN}=N(a>0，a\neq 1，N>0)\)
证明：由\(a^b=N\)得到\(b=log_aN\)，代入\(a^b=N\)即得到\(a^{log_aN}=N\)。
公式的作用：从左到右是化简，从右向左是常数指数化。
易错例①\(2^{-log_23}=2^{log_23^{-1}}=3^{-1}=\cfrac{1}{3}\)；
②\(4^{\frac{1}{2}log_210}=(4^{\frac{1}{2}})^{log_210}=2^{log_210}=10\)；
③\(7^{-log_7\cfrac{1}{2}}=(\cfrac{1}{2})^{-1}=2\)；
④\(4^{\frac{1}{2}+log_210}=4^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{log_210}=2\cdot 2^{log_2{10}^2}=200\)；
⑤\(2^x>3\Longrightarrow 2^x>3=2^{log_23}\Longrightarrow x>log_23\)；
当然也可以两边同时取以\(2\)为底的对数，得到\(log_22^x>log_23\)，即\(x>log_23\)；
⑥\(log_3[log_3(log_4\;^x)]=0\)，解得\(log_3(log_4\;^x)=1\)，解得\(log_4\;^x=3\)，解得\(x=64\)
⑦求值：\((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{log_{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\sqrt{5}}\)
法1：原式\(=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{\frac{-1}{-1}log_{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\sqrt{5}}\)
\(=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{log_{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{-1}}{\sqrt{5}}^{-1}}\)
\(=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}(\sqrt{5})^{-1}}\)
\(=5^{-\cfrac{1}{2}}=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)
法2：原式\(=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{\cfrac{log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\sqrt{5}}{log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}}\)
\(=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\sqrt{5}}\)
\(=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{\sqrt{5}}^{-1}}\)
\(=5^{-\cfrac{1}{2}}=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)
⑵、对数换底公式：
\(log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}(a>0,a\neq 1;c>0,c\neq 1;b>0)\)
证明：设\(log_ab=x\)，则\(a^x=b\)，两边取以\(c\)为底的对数，
得到\(log_c{a^x}=log_cb\)，即\(xlog_ca=log_cb\)，
即\(x=log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}\)，
则有\(log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}\)。
常用结论：
①\(log_ab\cdot log_bc\cdot log_cd= log_ad\)；
用换底公式得到
\(\cfrac{lgb}{lga}\cdot \cfrac{lgc}{lgb}\cdot\cfrac{lgd}{lgc}=\cfrac{lgd}{lga}=log_ad\)。
故有\(log_ab=\cfrac{1}{log_ba}\)，
②遇到函数\(f(x)=log_2x+log_x2(x\in[2,3])\)时常可以考虑均值不等式或者对号函数。
如\(f(x)=log_2x+\cfrac{1}{log_2x}\)
③若\(log_{14}7=a\)，\(14^b=5\)，用\(a、b\)表示\(log_{35}28\)；[为对数式的化简求值做准备]
分析：由已知\(log_{14}7=a\)，\(log_{14}5=b\)，
则\(log_{35}28=\cfrac{log_{14}28}{log_{14}35}\)
\(=\cfrac{log_{14}\cfrac{14^2}{7}}{log_{14}35}\)
\(=\cfrac{log_{14}14^2-log_{14}7}{log_{14}5+log_{14}7}\)
\(=\cfrac{2-a}{a+b}\)
⑶、\(log_{a^m}{b^n}=\cfrac{n}{m}log_ab(m，n\in R，a>0，a\neq 1，b>0)\)
证明：使用换底公式，
\(log_{a^m}{b^n}=\cfrac{lgb^n}{lga^m}\)
\(=\cfrac{nlgb}{mlga}=\cfrac{n}{m}\cdot\cfrac{lgb}{lga}\)
\(=\cfrac{n}{m}log_ab\)。
常用结论：\(log_23=log_49\)；\(log_32=log_94\)；\(log_24=log_39\)；\(log_42=log_93\)；\(log_{2^3}5=log_{2^3}5^1=\cfrac{1}{3}log_25\)；
⑷解如下的不等式组，求\(t\)的取值范围
\(\begin{cases}log_3t\ge 0\\log_3(log_3t)\ge 0\\log_3[log_3(log_3t)]< 0\end{cases}\)
求解\(log_3t\ge 0=log_31\)得到\(t\ge 1①\)；
求解\(log_3(log_3t)\ge 0=log_31\)得到\(t\ge 3②\)；
求解\(log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31\)得到\(3 < t <27③\)；
求交集得到\(3 < t < 27\)，故选B。
例【大小比较】比较\(16^{18}\)和\(18^{16}\)；
法1：作商法，\(\cfrac{16^{18}}{18^{16}}=(\cfrac{16}{18})^{16}\cdot 16^2=(\cfrac{8}{9})^{16}\cdot 2^8\)
\(=(\cfrac{64}{81})^{8}\cdot 2^8=(\cfrac{128}{81})^{8}>1\)，
故\(16^{18}>18^{16}\)；
法2：取对数作差法，\(lg16^{18}-lg18^{16}=18lg16-16lg18=72lg2-16(lg2+2lg3)=56lg2-32lg3>0\)，
故\(16^{18}>18^{16}\)；
例4【对数的运算】求值：\(log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)
原式=\(log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)
\(=\cfrac{1}{2}\cdot 2 log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)
\(=\cfrac{1}{2}log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})^2}=\cfrac{1}{2}\)
例5已知\(2^x=3^y\)，求\(\cfrac{x}{y}\)的值。
分析：令\(2^x=3^y=k\)，则\(x=log_2k=\cfrac{1}{log_k2}\)，\(y=log_3k=\cfrac{1}{log_k3}\)，
故\(\cfrac{x}{y}=\cfrac{\frac{1}{log_k2}}{\frac{1}{log_k3}}=\cfrac{log_k3}{log_k2}=log_23=\cfrac{lg3}{lg2}\)。
例6【化简计算】
①\((2\cfrac{1}{4})^{\cfrac{1}{2}}-(-2018)^0-(3\cfrac{3}{8})^{-\cfrac{2}{3}}+(\cfrac{3}{2})^{-2}\)
\(=(\cfrac{9}{4})^{\cfrac{1}{2}}-1-(\cfrac{27}{8})^{-\cfrac{2}{3}}+(\cfrac{3}{2})^{-2}\)
\(=[(\cfrac{3}{2})^2]^{\cfrac{1}{2}}-1-[(\cfrac{3}{2})^3]^{-\cfrac{2}{3}}+(\cfrac{3}{2})^{-2}\)
\(=\cfrac{3}{2}-1-(\cfrac{3}{2})^{-2}+(\cfrac{3}{2})^{-2}=\cfrac{1}{2}\)。
②\(\cfrac{1}{2}lg\cfrac{32}{49}-\cfrac{4}{3}lg\sqrt{8}+lg\sqrt{245}\)
\(=\cfrac{1}{2}(lg32-lg49)-\cfrac{4}{3}lg8^{\cfrac{1}{2}}+lg245^{\cfrac{1}{2}}\)
\(=\cfrac{1}{2}(lg2^5-lg7^2)-\cfrac{4}{3}\cdot \cfrac{1}{2}lg2^3+\cfrac{1}{2}lg(49\times5)\)
\(=\cfrac{1}{2}(5lg2-2lg7)-\cfrac{2}{3}\times 3lg2+\cfrac{1}{2}(2lg7+lg5)\)
\(=\cfrac{5}{2}lg2-lg7-2lg2+\cfrac{1}{2}lg5+lg7\)
\(=\cfrac{1}{2}lg2+\cfrac{1}{2}lg5\)
\(=\cfrac{1}{2}(lg2+lg5)=\cfrac{1}{2}\)。
例7大小比较：\(log_34\)和\(log_45\)；
法1：由于\(log_34=log_3(3\times \cfrac{4}{3})=1+log_3 \cfrac{4}{3}\)，
\(log_45=log_4(4\times \cfrac{5}{4})=1+log_4\cfrac{5}{4}\)，
因为底数都大于1，所以都是增函数，\(\cfrac{4}{3}>\cfrac{5}{4}\)，
则\(log_3\cfrac{4}{3}>log_3\cfrac{5}{4}\)，\(log_3\cfrac{5}{4}>log_4\cfrac{5}{4}\)，
所以\(log_3\cfrac{4}{3}>log_4\cfrac{5}{4}\)，即\(log_34>log_45\)；
法2：取\(\cfrac{5}{4}\)为中间量，
\(log_34-\cfrac{5}{4}=\cfrac{lg4}{lg3}-\cfrac{5}{4}\)
\(=\cfrac{4lg4-5lg3}{4lg3}=\cfrac{lg\cfrac{4^4}{3^5}}{4lg3}>0\)，
即\(log_34>\cfrac{5}{4}\)
\(log_45-\cfrac{5}{4}=\cfrac{lg5}{lg4}-\cfrac{5}{4}\)
\(=\cfrac{4lg5-5lg4}{4lg4}=\cfrac{lg\cfrac{5^4}{4^5}}{4lg4}<0\)，
即\(log_45<\cfrac{5}{4}\)，
即\(log_34>log_45\)；
例8计算\(5^{log_{25}(lg^22+lg\frac{5}{2})}\)；
分析：本题目分三个步骤完成：
第一步，先计算\(5\)的指数位置的对数的真数的值，
\(lg^22+lg\cfrac{5}{2}=(lg2)^2-lg2+lg5\)
\(=lg2(lg2-1)+lg5=-lg2lg5+lg5\)
\(=lg5(1-lg2)=(lg5)^2\)
这样，原题目就转化为\(5^{log_{25}(lg5)^2}\)；
第二步，再计算\(5\)的指数位置的对数的值，
\(log_{25}(lg5)^2=log_{5^2}(lg5)^2=\cfrac{2}{2}\cdot log_5lg5=log_5lg5\)；
这样，原题目再次转化为\(5^{log_5lg5}\)；
第三步，利用对数恒等式求值，
\(5^{log_5lg5}=lg5\)；
故\(5^{log_{25}(lg^22+lg\frac{5}{2})}=lg5\)；
3、根式的运算中的难点
- 三次根式的分母有理化
如\((1-k)^3=\cfrac{1}{2}\)，则有\(k=1-\sqrt[3]{\cfrac{1}{2}}\)
即\(k=1-\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}}=1-\cfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}}\)
\(=1-\cfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2^3}}=1-\cfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\)
- 如化简\(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\)【二重根式的化简】
分析：设\((a+b)^2=7+4\sqrt{3}\)，由于是二重根式，
则有\(\begin{cases}a^2+b^2=7\\2ab=4\sqrt{3}\end{cases}\)，
解得\(a=2，b=\sqrt{3}\)或\(b=2，a=\sqrt{3}\)
即有\(\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}\)。
\(\sqrt{8+4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2}=\sqrt{2}+\sqrt{6}\)
化简\(\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)
分析：\(\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}\)
\(=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})=2\sqrt{3}\).
四、典例剖析
例9【2017全国卷1，文科第17题高考真题】
记\(S_n\)为等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和，已知\(S_2=2，S_3=-6\)。
（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。
分析：本问比较简单，你能说出怎么个简单法吗？
解方程组得到\(a_1=-2，q=-2\)，
故\(\{a_n\}\)的通项公式\(a_n=-2\cdot (-2)^{n-1}=(-2)^n\)。
（2）求\(S_n\)，并判断\(S_{n+1}，S_n，S_{n+2}\)是否成等差数列。
分析：先求解
\(S_n=\cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)
\(=\cfrac{-2[1-(-2)^n]}{1-(-2)}\)
\(=\cfrac{-2+2\cdot (-1)^n\cdot 2^n}{3}\)
\(=-\cfrac{2}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+1}}{3}\)。
接下来你得意识到，
\(S_n\)是个关于自变量\(n\)的函数，
故由此我们应该能写出\(S_{n+1}\)，\(S_{n+2}\)
至于等差数列的判断，我们依据等差中项法判断即可，
即验证\(S_{n+2}+S_{n+1}\)是否等于\(2S_n\)。
判断如下：\(S_{n+2}+S_{n+1}\)
\(=-\cfrac{2}{3}+(-1)^{n+2}\cfrac{2^{n+3}}{3}-\cfrac{2}{3}+(-1)^{n+1}\cfrac{2^{n+2}}{3}\)
\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cdot (-1)^2\cfrac{2^{n+3}}{3}+(-1)^n\cdot (-1)^1\cfrac{2^{n+2}}{3}\)
\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+3}}{3}-(-1)^n\cfrac{2^{n+2}}{3}\)
\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n(\cfrac{2^{n+2}\cdot 2}{3}-\cfrac{2^{n+2}}{3})\)
\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+2}}{3}\)
\(=2[-\cfrac{2}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+1}}{3}]=2S_n\)，
故\(S_{n+1}，S_n，S_{n+2}\)成等差数列。
例10对正整数\(n\)，设曲线\(y=x^n(1-x)\)在\(x=2\)处的切线与\(y\)轴交点的纵坐标为\(a_n\)，则数列\(\{\cfrac{a_n}{x+1}\}\)的前\(n\)项和的公式是________.
分析：\(y=f(x)=x^n(1-x)=x^n-x^{n+1}\)，则\(f'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n\)，
则\(k=f'(2)=n2^{n-1}-(n+1)2^n=n2^{n-1}-(n+1)2^{n-1}\cdot 2=n2^{n-1}-(2n+2)2^{n-1}=2^{n-1}(n-2n-2)=-(n+2)\cdot 2^n\)
又切点为\((2，-2^n)\)，则切线方程为\(y-(-2^n)=-(n+2)2^n(x-2)\)，
令\(x=0\)，得到切线与\(y\)轴交点的纵坐标\(y=(n+1)2^n=a_n\)，
令\(b_n=\cfrac{a_n}{n+1}=2^n\)，
数列\(\cfrac{a_n}{n+1}\)的前\(n\)项和为
\(T_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n=\cfrac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2\)；
例11解对数方程：\(log_2(9^{x-1}-5)=log_2(3^{x-1}-2)+2\)
分析：要使得原方程成立，必须先满足条件\(9^{x-1}-5>0①\)， \(3^{x-1}-2>0②\)，
在此前提下，原方程等价于\(log_2(9^{x-1}-5)=log_24(3^{x-1}-2)\);
即\(9^{x-1}-5=4(3^{x-1}-2)\)，
即\(9^{x-1}-4\cdot 3^{x-1}+3=0\)，
即\((3^{x-1})^2-4\cdot 3^{x-1}+3=0\)，
即 \(3^{x-1}=1\)，或者\(3^{x-1}=3\)，
解\(3^{x-1}=1\)， 即\(3^{x-1}=3^0\)，解得\(x=1\)，
解\(3^{x-1}=3\)， 即\(3^{x-1}=3^1\)，解得\(x=2\)，
验证：将\(x=1\)和\(x=2\)代入①②两式，舍去\(x=1\)，保留\(x=2\)，
故方程的根为\(x=2\)。
例12求值：\(5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}\)
分析：设\(5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}=x\)，两边同时取对数，
得到\(lgx=lg[5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}]\)，
即\(lgx=lg30\cdot lg5+lg0.5\cdot lg\cfrac{1}{3}\)
即\(lgx =(lg3+1)\cdot lg5+(-lg2)\cdot (-lg3)\)
即\(lgx=lg3\cdot lg5+lg5+lg2\cdot lg3\)
即\(lgx=lg3(lg2+lg5)+lg5\)
即\(lgx=lg3+lg5=lg15\)，
即\(x=15\)；
例13已知\(a，b>0\)，且满足\(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)\)，求\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)的值；
分析：引入正数因子\(k\)，
令\(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)=k(k>0)\)，
则由\(2+log_2a=log_24a=k\)，
得到\(4a=2^k\)，即\(a=\cfrac{2^k}{2^2}=2^{k-2}\)；
由\(3+log_3b=log_327b=k\)，
得到\(27b=3^k\)，即\(b=\cfrac{3^k}{3^3}=3^{k-3}\)；
由\(log_6(a+b)=k\)，
得到\(a+b=6^k\)；
则\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{a+b}{ab}\)
\(=\cfrac{6^k}{2^{k-2}\cdot 3^{k-3}}\)
\(=\cfrac{2^k\cdot 3^k}{2^k\cdot 2^{-2}\cdot 3^k\cdot 3^{-3}}\)
\(=\cfrac{1}{2^{-2}\cdot 3^{-3}}\)
\(=2^2\cdot 3^3=108\)
例14【2019届高三理科对数与对数函数课时作业习题第14题】
设\(2^a=5^b=m\)，且\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=2\)，则\(m\)=_____________。
分析：将指数式转化为对数式，可得\(a=log_2m\)，\(b=log_5m\)，
则\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{1}{log_2m}+\cfrac{1}{log_5m}\)，
\(=log_m2+log_m5=log_m10=2\)，
即\(m^2=10\)，又\(2^a=m>0\)，故\(m=\sqrt{10}\)。
例11【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】已知正项等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(7S_6=3S_9\)，\(a_4=2\)，则数列\(\{a_{3n-2}+log_2a_n\}\)的前\(10\)项的和\(T_{10}\)=____________。
分析：先由条件\(7S_6=3S_9\)，求得\(q^3=2\)，则\(a_n=a_4\cdot q^{n-4}=2q^{n-4}\)，
则\(a_{3n-2}=2\cdot q^{3n-6}=2\cdot (q^3)^{n-2}=2\cdot 2^{n-2}=2^{n-1}\)；
\(log_2a_n=log_22\cdot q^{n-4}=1+(n-4)log_2q=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_2q^3\)
\(=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_22=1+\cfrac{n-4}{3}\)；
则\(T_{10}=(2^0+2^1+\cdots+2^9)+[(1+\cfrac{-3}{3})+(1+\cfrac{-2}{3})+\cdots+(1+\cfrac{6}{3})\)
\(=\cfrac{1(2^{10}-1)}{2-1}+10+\cfrac{1}{3}\times\cfrac{(-3+6)10}{2}=1023+15=1038\);
解后反思：巧妙利用指数幂的运算性质，可以大大简化本题目的运算过程，降低运算难度。