洗牌算法

洗牌算法  

54张有序的扑克牌，设计一种算法，实现洗牌操作：
方法一：
1。随机产生一个1-n的数x，做为第一张牌。
2。随机产生一个1-(n-1)的数y，如果y 3。随机产生一个1-(n-i)的数z，取第z个没有被抽出来的作为第i张牌。(i=3,4,5...54)
这种算法的复杂度为O(N^2)，因为计算每个随机数的牌号平均要执行(N/2)次比较。
对应于现实中的扑克牌，这种算法等于每次从牌堆中随机抽一张，放到另一堆上，直到抽完为止，这里新的一堆就是洗完的牌序。

方法二：
1。随机产生一个1-n的数x，然后让第x张牌和第1张牌互相调换。
2。随机产生一个1-n的数y，然后让第y张牌和第2张牌互相调换。
3。随机产生一个1-n的数z，然后让第z张牌和第i张牌互相调换。(i=3,4,5...54)
这种算法的复杂度为O(N)。

方法三：
因为一共有N!种洗牌结果，所以可以等概率地产生一个1-N!之间的随机数x，然后用康托展开的方法，根据x生成对应的排列，即为洗牌结果。
关于康托展开，参考http://baike.baidu.com/view/437641.htm

方法一的改进：
方法一由于计算随机数对应的牌号平均要执行(N/2)次比较，所以复杂度为O(N^2)，N*N的第一个N是牌的数目，无法优化，但是第二个N是确定牌的序号，这个是否有办法优化呢？
第一种优化就是每次抽出一张牌后，就将之后的所有牌向前移动一个单位，下次产生的随机数就是目标牌的下标。
如第一次随机数为3，抽出3，扑克牌数组变为1 2 4 5 6 7...
第二次抽出6，直接取数组的第六个元素即7，然后把7之后的牌前移一个单位。这样牌的定位复杂度就是1了，但是移动的复杂度仍为N/2，所以这种算法并没有起到效率优化的目标。
第二种优化是为树状数组。用一个长为54的树状数组 used 存储 1-i 张牌中被投抽出来的牌的张数。这样 i-used[i] 就是牌号为 i 的扑克的序号。然后用2分查找的方式，就可以快速确定随机数对应的牌号，树状树的复杂度为logn，这样总的算法复杂度为O(NlogN)。
但是考虑到一种54张牌，树状数组优化带来的性能提升很小，比起程序代码带来的可维护性损失，颇不值得。

方法二的修正：
方法二乍看好像不错，网上也有很多文章使用这种算法，但是其实这是一种错误的方法，因为方法二的所有可能性为N^N，而洗好的牌一种有N!种可能，又因为N^N % N! !=0，所以每种结果的概率是不相同的。
那么如何修正这个问题呢？仿照第一种方法，第i次洗牌不是产生一个1-n的随机数，而是产生一个i-n的随机数，这样可能性结果的可能性就是N!了。就有可能概率相等了。
证明在<<计算机程序设计艺术>>上。

方法一代码：
#include
#include
#define N 54

int poker[N+1];
void shuffle(){
    int used[N+1];
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=N;i++)
        used[i]=0;
    for(i=1;i<=N;i++){//定位
        k = rand()%(N+1-i)+1;
        for(j=1;k!=0;j++){
            if(0==used[j])//只计算未抽出的牌
                k--;
        }
        poker[i]=j-1;
        used[j-1]=1;
    }
}
int main(){
    int i;
    srand(time(NULL));
    shuffle();
    for(i=1;i<=N;i++)
        printf("%d ", poker[i]);
    printf("\n");
}
修正后的方法二代码：
#include
#include
#define swap(a,b) {int t=(a);(a)=(b);(b)=(t);}
#define N 54

int poker[N+1];
void shuffle(){
    int i,k;
    for(i=1;i<=N;i++)//初始化
        poker[i]=i;
    for(i=1;i<=N;i++){
        k = rand()%(N+1-i)+i;
        swap(poker[i],poker[k]);   //交换
    }  
}
int main(){
    int i;
    srand(time(NULL));
    shuffle();
    for(i=1;i<=N;i++)
        printf("%d ", poker[i]);
    printf("\n");
}

康托展开源代码(计算排列的编号)：洗牌算法要反过来，即根据排列的编号计算排列的内容。
#include

int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
unsigned long cantor(int s[], int n) {
    int i,j,temp,num=0;
    for(i=1;i         temp = 0;
        for(j=i+1;j<=n;j++){
            if(s[j]                 temp++;
        }  
        num+=fac[n-i]*temp;
    }  
    return num+1;
}

int main(){
    int x[]={0,1,2,3,5,4};
    printf("%ld\n", cantor(x,5));
    int y[]={0,5,4,3,2,1};
    printf("%ld\n", cantor(y,5));
}