拓扑排序（超详细！！！）

对于一个有向无环图来说拓扑排序的结果遵循如下规则，即如果有一条从顶点$v_i$指向顶点$v_j$的边，那么最后的排序结果中$v_i$一定在$v_j$的前面。例如

这个图的拓扑排序就是1 2 3 4 5。

同一个图可以有多个拓扑排序结果，对于上面那个图，还有一种排序结果就是1 2 3 5 4。

为了可以进行拓扑排序，给定的图中不可以有环。我们可以简单论证一下，假设图中的顶点为$v_1,v_2,v_3...v_n$，并且这些点构成环，也就是说有一条边从$v_i$指向$v_{i+1}$（其中$1\le i<n$）并且有一条边从$v_n$指向$v_1$。那么现在我们进行拓扑排序的话，$v_n$一定要排在$v_1$之前，因为有一条$v_n$指向$v_1$的边。而$v_i$一定排在$v_{i+1}$的前面，因为有一条从$v_i$指向$v_{i+1}$的边。那么这意味着$v_1$排在$v_n$前面，所以这和前面矛盾。

接着我们思考一下如何找到一个图的拓扑排序。最基本的思路就是找到一组顶点的排列，使得所有指向$v_j$的顶点$v_i$，都排在顶点$v_j$的前面。我们维护一个数组$T$存储拓扑排序结果。因此，对于一个拥有$N$个顶点的图来说，我们先建立一个大小为$N$的数组$in\_degree[]$，其$i^{th}$元素表示$v_i$的入度（也就是所有指向$v_i$点的数量）。我们将顶点$v_i$插入到$T$中的同时，要将$in\_degree[v_j]$减1（其中$v_j$表示$v_i$指向的所有点）。在任何时候我们都只能插入$in\_degree[]$为0的顶点。

下面是bfs的代码

from collections import defaultdict
def topSort(N, pre):
    res, d, vis, q = [], [0]*N, [False]*N, []
    g = defaultdict(list)
    
    for i, j in pre:
        g[i].append(j)
        d[j] += 1
        
    for i in range(n):
        if d[i] == 0:
            q.append(i)
            vis[i] = True
    
    while q:
        cur = q.pop(0)
        N -= 1
        res.append(cur)
        for i in g[cur]:
            d[i] -= 1
            if not vis[i] and d[i] == 0:
                q.append(i)
                vis[i] = True
    return res if N == 0 else []

我们举一个例子看看这个算法是如何工作的，考虑下面这个图

一开始$in\_degree[0]=0$并且$T$是空

所以我们从$queue$中删除0，将其添加到$T$中。接着我们将所有0指向的点（1，2，3）的入度减1。现在$in\_deque[1]=0$，我们将1添加到$queue$中

接着我们将1从$queue$中弹出，然后添加到$T$中。接着我们将所有1指向的点（2，4）的入度减1。现在$in\_deque[2]=0$，我们将2添加到$queue$中

接着做类似操作

所以我们最终得到的拓扑排序数组是0,1,2,3,4,5。

我们也可以通过dfs来处理该问题，使用dfs的话，我们就不用建立$in\_degree$数组了。下面是dfs的代码

from collections import defaultdict
def topSort(N, pre):
    res, vis = [], [0]*N
    g = defaultdict(list)
    
    for i, j in pre:
        g[i].append(j)
    
    def dfs(node):
        if vis[node] == 1:
            return False
        elif vis[node] == -1:
            return True
        
        vis[node] = 1
        for i in g[node]:
            if not dfs(i):
                return False
        res.insert(0, node)
        vis[node] = -1
        return True
    
    for i in range(n):
        if vis[i] == 0 and not dfs(i):
            return []
    return res

reference:

https://www.hackerearth.com/zh/practice/algorithms/graphs/topological-sort/tutorial/

如有问题，希望大家指出！！！