量子力学 or 线性代数？（五：波函数与薛定谔方程）

首先欢迎大家来到这里学习本专栏的的第五课：波函数与薛定谔方程，在前面的几次博客我们大概理性上的理解了一些关于量子力学的基本知识和概念，但与这次博客我们将要学习的知识相比较，前面的都只能算是热身，如果硬要说，那也只能是剧烈热身，这里才是万里长征中困难开始的第一步。

我们抬头仰望的是同一片星空，但低下头却是不一样的人生~~ It’s up to us

一. 坐标表象和波函数

在刚开始学量子力学的时候，我们提过一个非常重要的概念叫：态矢量。我们在学习传统物理学的时候，一个物体对应了多种物理量 ，加速度，动量 等等~~ 而量子力学中，描述物理状态只需要一个态矢量，它包含了一个物理对象一切力学量的概率信息(而不仅仅是位置 )。

从现在开始 ，你就是一个：

那么话说回来，在我们认识的真实空间中，各个物理量都是存在一种或多种表达形式的，那么在现实世界中不存在的希尔伯特空间中的态矢量，我们怎么来表示呢？

哈哈，常规的思维是，我们既然要找一种恰到好处的方式来表示 态矢量，那么我们肯定是先要了解一下态矢量的来源或者说是意义：

以量子力学的角度来看，粒子或者系统总是处于一个概率分布的形式。无论选取哪个物理量来进行观测，总会得到一个几率分布和不可逆地得到一个新量子态。所以说“态”实际上是描述粒子或系统所处的状态；某种意义上来讲就是描述选取各种各样的观测量所带来的几率分布。而把这种概念抽象成一个名词，就是态。

而我们高中就学过 量子 具有波粒二象性，说明粒子在空间中具有波动性，根据我们对“波”的理解，它描述的是某种振动在空间中的传播。由于振动牵涉到时间，而传播依赖于空间，所以在这里我们可以佷自然的引入一个函数，这个函数可以既包含 空间的描述，也可以记录时间的维度，又是与“波”紧密相连，所以我们叫做它 波函数 ,将它记为$\psi \left(x,y,z,t\right)$

那么，有好奇宝宝就会问了：态矢量 是一个矢量啊 ，怎么会用函数来表示，二者之间有啥关系。由于这里需要较强的数学推导能力和计算水平，博主能力有限，但是有感兴趣的小伙伴可以 戳这里了解来龙去脉。。。

我们再回到 波函数上来，我们这里所说的$\psi \left(x,y,z,t\right)$其实是波函数在坐标表象下的形式，这里我们又引入了一个新词，坐标表象又是什么鬼？难道在别的表象下，这个式子会发生变化？

少年莫急，且听老夫我慢慢道来：

线性代数是我们最好的伙伴 （*´ﾟ∀ﾟ｀)ﾉ ，我们还是从它入手。
在线性代数中我们知道，对于同一个向量，选择不同的基底，会得到不同的分量形式：比如下图中的向量 $\alpha$ ,在基底为 $\left\{e_1,e_2\right\}$时，其分量形式为：${\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^T$,而当基底为 $\left(e_1{}^{\prime },e_2{}^{\prime }\right)$时，其分量形式又变成了${\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)}^T$.

通过类比，我们可以大胆的猜测：对于同一个抽象的态矢量 $|\psi >$ 而言，“表象”就是它在不同基底下的波函数形式。

先看这个：
四个水果，柠檬，苹果，香蕉，山楂，把它们分成两类，你会怎么分？按颜色分类，苹果山楂分一类，柠檬香蕉分一类，这就叫“颜色表象”，按口味分类，苹果和香蕉分一类，山楂和柠檬分一类，这就叫“口味表象”，按颜色表象，这个体系就分为两个态矢|红>，|黄>，按口味分类，也是两个态矢|酸>，|甜>。。这样说或许或帮助大家理解。。

比如，当我们关注坐标时，选取坐标的本征态作为基底，它就表现为我们熟悉的波函数形式$\psi \left(x,y,z,t\right)$,这就叫作态矢量的“坐标表象”(Coordinate Representation)；

而当我们关注动量时，选取动量的本征态作为基底，那么我们会得到另外一个波函数形式$\psi \left(P_x,P_y,P_z,t\right)$ ，这就叫做态矢量的“动量表象”(Momentum Representation)。

在这里补充一点：在线代中，基底是可以随意变换的，那么在量子力学中，这个“动量表象” 和
“坐标表象” 之间是否也可以进行转换呢？ 答案是肯定的，但是这个日后再叙，毕竟对新手不太友好。。。

当然在这里，我们还需要简单学习一下波函数的具体性质规律：

1. 量子力学中用波函数$\psi \left(x,y,z,t\right)$描述微观物体的运动状态。一般的，波函数是时间和空间的函数，而且是复数。
2. 波函数的强度即模的平方${\left|\psi \left(x,y,z,t\right)\right|}^2$
3. 波函数是概率波。其模的平方代表粒子在该处出现的概率密度,其实就是它的强度等于 $t$ 时刻出现在空间$\left(x,y,z\right)$点 附近单位体积内的粒子数与总粒子数 之比，即 $t$时刻粒子出现在空间$\left(x,y,z\right)$点附近单位体积内的概率或者是$t$时刻粒子在空间分布的概率密度。
4. 由概率函数的性质推知，波函数应满足的标准化条件是：单值、连续、有限，且应满足归一化条件：${\int }_{-\phi }^{\phi }{\left|\psi \left(x,y,z,t\right)\right|}^{2}dv=1$。

二 . 前期准备

为什么说波函数的平方就是一个粒子出现的概率？（我们姑且不管这句话的严谨性！！）

为了让大家更好的学习与理解，我们在这里就不考虑时间维度上的 $t$ ,除此之外，先只考虑坐标表象下的一维情形，此时波函数仅仅是 $x$坐标的函数： $\psi \left(x\right)$, 其实我们把这个理解为该粒子在$x$轴上，则其余的坐标都为 0。

首先，我们知道，位置坐标作为一个力学量，会对应一个算符、以及一系列本征值和本征态。
这里出现了一个力学量：

量子力学中的可观察量。在量子力学中，描述体系的任何力学量如能量、角动量等都是可测量或可观测的，它们都可以用一个线性厄米算符来表示。

我们这时候将坐标的算符(即位置算符)记作 $x$ ，它的本征值系列，就是所有可能被我们测量到的坐标值 $x$,而相应的本征态记作 $|x>$。(这个我们上一次博客详细学习过~~)。

让我们把记忆的曲线图再拉回到：刚开始学习量子力学时以薛定谔的猫为例时，测量后得到坍缩到某个本征态的概率为一个包含平方的式子（自身内积），同样类比过来，对于处于任意量子态(不一定是本征态 ) $|\psi >$的物理对象而言，当我们去测量它的位置坐标时，测到它位于某个位置 $X_a$ 的概率为：
$$f(x_a)={\left|<x_a|\psi >\right|}^2$$
然而 ，我们都知道这只是一个抽象的式子，如何将它与波函数蹭上关系呢？？

显然，饭是一口一口吃的，我们思考的方向也是一点一点的从模糊向清晰转变。显然，$|\psi >$ 我们知道可以直接用 $\psi \left(x\right)$ 表示，那么 $<x_a|$ 对应的波函数又是什么呢？

在这里我们又要引入 狄拉克的 $\delta$函数，表示为：$\delta \left(x-x_a\right)$，它也就是我们$<x_a|$对应的波函数！！在这里我们完全不需要去了解这个我们从未见过的函数怎么用，有什么意义，还是那句话：日后再叙！！

再将它们组合之前，我们还是需要回顾一个高数中的重要知识：函数的内积，相信聪明的小伙伴们已经猜到，我们前面花了大篇的内容研究概率其实就是态矢量与其自身的内积，但是那是态矢量 ，是向量，如果我们们这里能够说明找到两个函数与前面的两个态矢量等价且也能和向量一样进行内积，那么我们也就至少能从数学的形式上解释，这个波函数的平方 对应的就是概率呢？

现规定两函数f(x)与g(x)与区间[a,b]，且两函数在该区间上可积且平方可积。则积分 ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$ 记作函数的内积。函数的内积常记作。

现在我们只关注它和任意一个平方可积函数相乘后积分的结果：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta \left(x-x_a\right)\psi \left(x\right)dx=\psi \left(x_a\right)$$

其正好等于函数的内积，这真TM的巧了！！所以：
$$f(x_a)=\left|<x_a|\psi >\right|={\left|{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta \left(x-x_a\right)\psi \left(x\right)dx\right|}^2={\left|\psi (x_a)\right|}^2$$
证毕！！
扩展一下;而对于三维情形，物理对象在空间中某点$\left(x,y,z\right)$出现的概率密度${\left|\psi \left(x,y,z\right)\right|}^2$

真的太难了！ 但是我想对正在量子力学中挣扎的小伙伴们说（本人原创打油诗，禁止转载）：

成功它并不是一首诗歌
也但非是一个人的传说
如果你真的想进行触摸
那一定会是失败的重播
如果你想将它进行捕捉
请勇敢面对必要的失落

干就完了 ，奥利给！！！！

三 . 薛定谔方程

在经历了重重困难之后，我们终于接近了量子力学最核心的知识之一，也是最有魅力的知识，这里没有之一。。

前面的很长一大段内容，其实想介绍的内容就是：要计算物理对象出现在某个位置的概率密度，需要先找到这个位置对应的本征态的波函数形式。

在微观世界中，量子的最重要的一个属性就是：能量。所以，道理是一样的，寻找能量概率分布的关键步骤，就是找到能量的本征值和相应本征态的波函数形式。

大家还记得我们上一篇博客的结尾，引入了能量的算符 $H$,这里再补充一下其对应的能量本征值系列记为 $\left\{E_n\right\}$,本征态系列记为$\left\{|E_n>\right\}$。

这时候，根据我们前面研究过的算符本征值与本征态的关系，我们可以得出下列结论：
$$H|E_n>=E_n|E_n>$$

在这个式子中，如果我们能够找到哈密顿算符在某个表象中的具体形式，理论上，我们就能找出相应的本征值和本征态。现在我们利用已有的知识来尝试得到 $H$。

在高中物理的能量学习中我们知道一般一个物体的机械能分为 动能 和 势能，$E_{all}=T+V$。
根据动量定理我们又知道，动能 $T=\frac{p^2}{2m}$
所以：
$$E_{all}=\frac{p^2}{2m}+V$$
算符表示为：$$E_{all}=\frac{p^2}{2m}+V$$
算符是要作用在一个具体的态矢量上面才能得到它的本征值和本征态信息，于是我们可以得到哈密顿算符作用在态矢量上的形式，就是把我们刚才得到的这个式子带入到前面红色标记的式子中得到：
$$H|\psi >=\left(\frac{p^2}{2m}+V\right)|\psi >$$

显然，这个公式还没有全部用算符来表示，因为现实中势能$V(x,y,z)$是在空间中分布的，是三维的，在这里，为了方便，我们将它先默认为一维的 $V(x)$ ,则一维坐标表象下，动量算符是关于坐标的微分算子
$$p=-i\bar{h}\frac{\partial }{\partial x}$$

好，在这里，有些头疼的小伙伴不要怕，且听我为你简单的介绍一下，这个动量算符：

微观粒子的动量为:$=\left(p_x,p_y,p_z\right)$ ,注意，此处的大写$P$为向量，其中，$p_x,p_y,p_z$为其分量。在量子力学中，我们对粒子的动量进行量子化，用动量算符表达粒子的动量，即
$$P\to p$$
这等效于动量分量的量子化:
$$p_x\to p_x,p_y\to p_y,p_z\to p_z$$
而动量的分量算符为:
$$p_x=-i\bar{h}\frac{\partial }{\partial x},p_y=-i\bar{h}\frac{\partial }{\partial y},p_z=-i\bar{h}\frac{\partial }{\partial z}$$
则动量的矢量算符为:
$$p=-i\bar{h}\left(\frac{\partial }{\partial x}{e}_x+\frac{\partial }{\partial y}{e}_y+\frac{\partial }{\partial z}{e}_z\right)$$

再接着我们刚才的内容，除了刚才我们解释的这个式子可以带入，还有$|\psi >=\psi \left(x\right)$,全部带入后 得到：
$$H|\psi >=\left(-\frac{{\bar{h}}^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V\right)\psi \left(x\right)$$
进而我们易得：
$$\left(-\frac{{\bar{h}}^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V\right){\psi }_n\left(x\right)=E_n{\psi }_n\left(x\right)$$
看到这个方程大家是不是似曾相识勒！没错，它就是我们上一篇博客说过的 定态薛定谔方程。它的最主要，也是最重要的作用就是: 解出这个方程，我们就能得到物理对象的能量在相应物理情形下的本征值和本征态，从而利用态矢量与本征态的内积关系，求出物理对象处于某种状态时的能量概率分布。（这个大家先知道一下，算是一个伏笔吧！！）

除此之外，如果我们关注态矢量的时间演化法则，那么以后我们还会看到，它的时间变化率也和哈密顿算符有关：
$$\frac{\partial }{\partial t}|\psi >=\frac{H}{i\bar{h}}|\psi >$$
在经过简单的转换，你猜我们能得到什么？
$$i\bar{h}\frac{\partial }{\partial t}\psi \left(x,t\right)=\left(-\frac{{\bar{h}}^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V\right)\psi \left(x,t\right)$$

噔噔~~噔噔 ，薛定谔方程本尊登场！！！

众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处

好了 ，本次的博客学习就到这里了，这次我我们学习的东西太多，还需要好好复习消化！

最后，不要忘记点赞啊！！