孙子算经 之 物不知数（韩信点兵）

《孙子算经》作者不可考，成书于四、五世纪南北朝时期，传本分三卷；

它是算经十书之一， 中国古代最重要的数学著作之一， 。

其下卷26题，“物不知数”为其最重要的成就之一：

“今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问：物几 何？答曰：二十三”

算子算经不仅仅给出了题目的答案，更重要的是给出了解法——西方称之为：中国同余数定理：

“术曰：三三数之，剩二，置一百四十；五五数之，剩三，置六十三；七七数之，剩二 ，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之，剩一，则置七十 ；五五数之，剩一，则置二十一；七七数之，剩一，则置十五。一百六以上，以一百五 减之，即得。”

 

方法是分两个步骤：

     第一步，构造出了三个数， 其一，对三取余剩二，而对五和七取余无剩余；其二，对五取余剩三，对三和七取余无剩余；其三，对七取余剩二，对三五取余无剩余；

    把这三个数加到一起后，就得到了一个能满足题目的要求的数；

   第二步，把第一步的数对三五七的最小公倍数105取余，把满足条件的数最小化，从而完美的解决了问题。

 

三三数之，剩二，置一百四十：

      140如何来的？ 140是5和7的公倍数，且140除以3余2；

五五数之，剩三，置六十三；

     63则是3和7的公倍数，且保证了63%5=3

七七数之，剩二 ，置三十

     30是3和5的公倍数，且30除以7余2

把这三个数加起来： 140 + 63 + 30 = 233

检验：

     233%3 = 2；  233%5=3； 233%7 = 2；

233对105取余， 得到最终的答案23

    233%105 = 23

三国魏晋的《景初历》、南北朝祖冲之的《大明历》甚至更早的历法书籍当中已经有了远比“物不知数”当中例举的数据更复杂的计算历法周期的规律的方法，《孙子算经》是对前人经验的总结归纳，后世在此基础上对同余定理也不断的完善和发展。

宋朝的秦九韶在《数书九章》进一步发展为根据普遍意义的“大衍求一术”

到了明朝程大位将其归纳为歌诀，并配以《韩信点兵》的故事便于记忆和推广：

       “三人同行七十稀，五树梅花二十一，七子团圆正半月，除百零五便得知。”

      70 是 5和7的公倍数当中对3取余剩1的数

      21是3和7的公倍数中对5取余剩1的数

      15是3和5的公倍数当中对7取余剩余1的数

 

《孙子算经-物不知数》的方法被称为孙子定理，是求解一次同余式组的方法，是"数论"中一个重要定理，被称为“中国余数定理”。

 

《算子算经》当中另外一个众所周知的题目是：“鸡兔同笼”也是同余数的问题：

       “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

 

这些问题都成了如今一些编程初学者的基础题目了， 只不过很可惜啊， 都是变成了暴力穷举的典范

而他们更应该是： 最大公约数和最小公倍数的求解题目