洛谷P3327 [SDOI2015]约数个数和

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题目简述：
求$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}d(ij) \\ d(ij)为i\ast j的约数 \end{gathered}$$（多组数据）

必要性质:
$$d(ij)=\sum _{x|i}\sum _{y|j}gcd(x,y)=1$$
证明：
不会

解题思路：
$$所求即\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{x|i}\sum _{y|j}gcd(x,y)=1$$$$\begin{gathered} 根据莫比乌斯函数的性质可转换为 \\ \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{x|i}\sum _{y|j}\sum _{d|gcd(x,y)}\mu (d) \end{gathered}$$$$转换为$$$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{x|i}\sum _{y|j}\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\ast [d|gcd(x,y)]$$$$\begin{gathered} 即 \\ \sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{x|i}\sum _{y|j}[d|gcd(x,y)] \end{gathered}$$$$每个d如果在当前x,y处合法，那么在x,y的倍数处也一定合法，即$$$$\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^m[d|gcd(x,y)]\lfloor \frac{n}{x}\rfloor \lfloor \frac{m}{y}\rfloor$$$$[d|gcd(x,y)]的意义即为x,y的公因数$$$$下面进行枚举项转换，直接枚举倍数$$$$\begin{gathered} \sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\sum _{x=1}^{n/d}\sum _{y=1}^{m/d}\lfloor \frac{n}{dx}\rfloor \lfloor \frac{m}{dy}\rfloor \\ 即 \end{gathered}$$$$\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)(\sum _{x=1}^{n/d}\lfloor \frac{n}{dx}\rfloor )(\sum _{y=1}^{m/d}\lfloor \frac{m}{dy}\rfloor )$$
$$对于多组数据我们即可预处理\sum _{x=1}^n\frac{n}{x}提高速率$$

#include
#include
using namespace std;
#define N 50010
int T;
int mu[N],prim[N],cnt,k,g[N];
long long sum[N];
bool vis[N];

inline void get(int n){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){//i为质数
            mu[i]=-1;prim[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prim[j]<=n;j++)
        {
            vis[i*prim[j]]=1;
            if(i%prim[j]==0)break;//i*prim[j]指数的大于1
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+(long long)mu[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        long long ans=0;
        for(int l=1,r;l<=i;l=r+1){
            r=(i/(i/l));
            ans+=(r-l+1)*1ll*(i/l);
        }
        g[i]=ans;
    }
}

inline long long calc(int a,int b){
    int maxx;
    long long ans=0;
    maxx=min(a,b);
    for(int l=1,r;l<=maxx;l=r+1){
        r=min(a/(a/l),b/(b/l));
        ans+=1ll*g[a/l]*g[b/l]*(sum[r]-sum[l-1]);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin>>T;
    get(N);
    while(T--){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<calc(a,b)<<endl;
    }
    return 0;
}