线段树详解（非递归版）

接上篇：https://blog.csdn.net/hpu2022/article/details/81946151

转自： https://blog.csdn.net/zearot/article/details/48299459

 

四：非递归原理

非递归的思路很巧妙，思路以及部分代码实现 来自  清华大学 张昆玮 《统计的力量》 ，有兴趣可以去找来看。

非递归的实现，代码简单（尤其是点修改和区间查询），速度快，建树简单，遍历元素简单。总之能非递归就非递归吧。

不过，要支持区间修改的话，代码会变得复杂，所以区间修改的时候还是要取舍。有个特例，如果区间修改，但是只需要

在所有操作结束之后，一次性下推所有标记，然后求结果，这样的话，非递归写起来也是很方便的。

下面先讲思路，再讲实现。

 

点修改：

非递归的思想总的来说就是自底向上进行各种操作。回忆递归线段树的点修改，首先由根节点1向下递归，找到对应的叶

节点，然后，修改叶节点的值，再向上返回，在函数返回的过程中，更新路径上的节点的统计信息。而非递归线段树的思路是，

如果可以直接找到叶节点，那么就可以直接从叶节点向上更新，而一个节点找父节点是很容易的，编号除以2再下取整就行了。

那么，如何可以直接找到叶节点呢？非递归线段树扩充了普通线段树(假设元素数量为n)，使得所有非叶结点都有两个子结点且叶子结点都在同一层。

来观察一下扩充后的性质：

 

可以注意到红色和黑色数字的差是固定的，如果事先算出这个差值，就可以直接找到叶节点。

 

注意：区分3个概念：原数组下标，线段树中的下标和存储下标。

原数组下标，是指，需要维护统计信息（比如区间求和）的数组的下标，这里都默认下标从1开始（一般用A数组表示）

线段树下标，是指，加入线段树中某个位置的下标，比如，原数组中的第一个数，一般会加入到线段树中的第二个位置，

为什么要这么做，后面会讲。

存储下标，是指该元素所在的叶节点的编号，即实际存储的位置。

 

【在上面的图片中，红色为原数组下标，黑色为存储下标】

 

有了这3个概念，下面开始讲区间查询。

 

点修改下的区间查询：

首先，区间的划分没有变，现在关键是如何直接找到被分成的区间。原来是递归查找，判断左右子区间跟[L,R]是否有交点，

若有交点则向下递归。现在要非递归实现，这就是巧妙之处，见下图，以查询[3,11]为例子。

 

 

 

其实，容易发现，紫色部分的变化，跟原来分析线段树的区间分解的时候是一样的规则，图中多的蓝色是什么意思呢？

首先注意到，蓝色节点刚好在紫色节点的两端。

回忆一下，原来线段树在区间逐层被替代的过程中，哪些节点被留了下来？最左侧的节点，若为其父节点的右子节点，则留下。

最右侧的节点，若为其父节点的左子节点则留下。那么对于包裹着紫色的蓝色节点来看，刚好相反。

比如，以左侧的的蓝色为例，若该节点是其父节点的右子节点，就证明它右侧的那个紫色节点不会留下，会被其父替代，所以没必要在这一步计算，若该节点是其父节点的左子节点，就证明它右侧的那个紫色节点会留在这一层，所以必须在此刻计算，否则以后都不会再计算这个节点了。这样逐层上去，容易发现，对于左侧的蓝色节点来说，只要它是左子节点，那么就要计算对应的右子节点。同理，对于右侧的蓝色节点，只要它是右子节点，就需要计算它对应的左子节点。这个计算一直持续到左右蓝色节点的父亲为同一个的时候，才停止。于是，区间查询，其实就是两个蓝色节点一路向上走，在路径上更新答案。这样，区间修改就变成了两条同时向根走的链，明显复杂度O(log2(n))。并且可以非递归实现。

至此，区间查询也解决了，可以直接找到所有分解成的区间。

但是有一个问题，如果要查询[1,5]怎么办？[1]左边可是没地方可以放置蓝色节点了。

问题的解决办法简单粗暴，原数组的1到n就不存在线段树的1到n了，而是存在线段树的2到n+1,

而开始要建立一颗有n+2个元素的树，空出第一个和最后一个元素的空间。

 

现在来讲如何对线段树进行扩充。

再来看这个二叉树，令N=8;注意到，该树可以存8个元素，并且[1..7]是非叶节点，[8..15]是叶节点。

也就是说，左下角为N的二叉树，可以存N个元素，并且[1..N-1]是非叶节点,[N..2N-1]是叶节点。

并且，线段树下标+N-1=存储下标 （还记不记得原来对三个下标的定义）

 

这时，这个线段树存在两段坐标映射：

原数组下标+1=线段树下标

线段树下标+N-1=存储下标 

联立方程得到：原数组下标+N=存储下标

于是从原数组下标到存储下标的转换及其简单。

 

下一个问题：N怎么确定？

上面提到了，N的含义之一是，这棵树可以存N个元素，也就是说N必须大于等于n+2

于是，N的定义，N是大于等于n+2的，某个2的次方。

 

区间修改下的区间查询：

方法之一：如果题目许可，可以直接打上标记，最后一次下推所有标记，然后就可以遍历叶节点来获取信息。

方法之二：如果题目查询跟修改混在一起，那么，采用标记永久化思想。也就是，不下推标记。

递归线段树是在查询区间的时候下推标记，使得到达每个子区间的时候，Sum已经是正确值。

非递归没法这么做，非递归是从下往上，遇到标记就更新答案。

这题是Add标记，一个区间Add标记表示这个区间所有元素都需要增加Add

Add含义不变，Add仍然表示本节点的Sum已经更新完毕，但是子节点的Sum仍需要更新.

现在就是如何在查询的时候根据标记更新答案。

观察下图：

左边的蓝色节点从下往上走，在蓝色节点到达[1,4]时，注意到，左边蓝色节点之前计算过的所有节点（即[3,4]）都是目前蓝色节点的子节点也就是说，当前蓝色节点的Add是要影响这个节点已经计算过的所有数。多用一个变量来记录这个蓝色节点已经计算过多少个数，根据个数以及当前蓝色节点的Add，来更新最终答案。

更新完答案之后，再加上[5,8]的答案，同时当前蓝色节点计算过的个数要+4(因为[5,8]里有4个数)

然后当这个节点到达[1,8]节点时，可以更新[1,8]的Add.

这里，本来左右蓝色节点相遇之后就不再需要计算了，但是由于有了Add标记，左右蓝色节点的公共祖先上的Add标记会影响目前的所有数，所以还需要一路向上查询到根，沿路根据Add更新答案。

 

区间修改：

这里讲完了查询，再来讲讲修改，

修改的时候，给某个区间的Add加上了C，这个区间的子区间向上查询时，会经过这个节点，也就是会计算这个Add,但是

如果路径经过这个区间的父节点，就不会计算这个节点的Add,也就会出错。这里其实跟递归线段树一样，改了某个区间的Add

仍需要向上更新所有包含这个区间的Sum，来保持上面所有节点的正确性。

 

五：非递归实现

以下以维护数列区间和的线段树为例，演示最基本的非递归线段树代码。

(0)定义：

#define maxn 100007
int A[maxn],n,N;//原数组,n为原数组元素个数 ,N为扩充元素个数 
int Sum[maxn<<2];//区间和 
int Add[maxn<<2];//懒惰标记 

(1)建树:

void Build(int n){
	//计算N的值 
	N=1;while(N < n+2) N <<= 1;
	//更新叶节点 
	for(int i=1;i<=n;++i) Sum[N+i]=A[i];//原数组下标+N=存储下标
	//更新非叶节点 
	for(int i=N-1;i>0;--i){
		//更新所有非叶节点的统计信息 
		Sum[i]=Sum[i<<1]+Sum[i<<1|1];
		//清空所有非叶节点的Add标记 
		Add[i]=0;
	}
} 

(2)点修改：

A[L]+=C

void Update(int L,int C)
{
	for(int s=N+L;s;s>>=1)
		Sum[s]+=C;
} 

(3)点修改下的区间查询：

求A[L..R]的和（点修改没有使用Add所以不需要考虑）

代码非常简洁，也不难理解,

s和t分别代表之前的论述中的左右蓝色节点，其余的代码根据之前的论述应该很容易看懂了。

s^t^1 在s和t的父亲相同时值为0，终止循环。

两个if是判断s和t分别是左子节点还是右子节点，根据需要来计算Sum

int Query(int L,int R){
	int ANS=0;
	for(int s=N+L-1,t=N+R+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1){
		if(~s&1) ANS+=Sum[s^1];
		if( t&1) ANS+=Sum[t^1];
	}
	return ANS;
} 

(4)区间修改：

A[L..R]+=C

void Update(int L,int R,int C){
	int s,t,Ln=0,Rn=0,x=1;
	//Ln:  s一路走来已经包含了几个数
	//Rn:  t一路走来已经包含了几个数
	//x:   本层每个节点包含几个数
	for(s=N+L-1,t=N+R+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,x<<=1){
		//更新Sum
		Sum[s]+=C*Ln;
		Sum[t]+=C*Rn;
		//处理Add
		if(~s&1) Add[s^1]+=C,Sum[s^1]+=C*x,Ln+=x;
		if( t&1) Add[t^1]+=C,Sum[t^1]+=C*x,Rn+=x;
	}
	//更新上层Sum
	for(;s;s>>=1,t>>=1){
		Sum[s]+=C*Ln;
		Sum[t]+=C*Rn;
	} 
}

(5)区间修改下的区间查询：

求A[L..R]的和

int Query(int L,int R){
	int s,t,Ln=0,Rn=0,x=1;
	int ANS=0;
	for(s=N+L-1,t=N+R+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,x<<=1){
		//根据标记更新 
		if(Add[s]) ANS+=Add[s]*Ln;
		if(Add[t]) ANS+=Add[t]*Rn;
		//常规求和 
		if(~s&1) ANS+=Sum[s^1],Ln+=x;
		if( t&1) ANS+=Sum[t^1],Rn+=x; 
	}
	//处理上层标记
	for(;s;s>>=1,t>>=1){
		ANS+=Add[s]*Ln;
		ANS+=Add[t]*Rn;
	}
	return ANS;
}