FPGA产生基于LFSR的伪随机数

本文部分转自https://blog.csdn.net/limanjihe/article/details/52400969，

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1.概念

　　通过一定的算法对事先选定的随机种子(seed)做一定的运算可以得到一组人工生成的周期序列，在这组序列中以相同的概率选取其中一个数字，该数字称作伪随机数，由于所选数字并不具有完全的随机性，但是从实用的角度而言，其随机程度已足够了。这里的“伪”的含义是，由于该随机数是按照一定算法模拟产生的，其结果是确定的，是可见的，因此并不是真正的随机数。伪随机数的选择是从随机种子开始的，所以为了保证每次得到的伪随机数都足够地“随机”，随机种子的选择就显得非常重要，如果随机种子一样，那么同一个随机数发生器产生的随机数也会一样。

2.由LFSR引出的产生方法

　　产生伪随机数的方法最常见的是利用一种线性反馈移位寄存器(LFSR),它是由n个D触发器和若干个异或门组成的，如下图：

　　　　

其中，gn为反馈系数，取值只能为0或1，取为0时表明不存在该反馈之路，取为1时表明存在该反馈之路；n个D触发器最多可以提供2^n-1个状态(不包括全0的状态)，为了保证这些状态没有重复，gn的选择必须满足一定的条件。下面以n=3，g₀=1，g₁=1,g₂=0,g₃=1为例，说明LFSR的特性，具有该参数的LFSR结构如下图：

　　　　

　　假设在开始时，D₂D₁D₀=111(seed)，那么，当时钟到来时，有：

　　D₂=D1_OUT=1；

　　D₁=D_{0_}OUT^D₂_OUT=0；

　　D0=D_{2_}OUT=1；

即D₂D₁D₀=101；同理，又一个时钟到来时，可得D₂D₁D₀=001. ………………

画出状态转移图如下：

　　　　　　　　　　

　　从图可以看出，正好有2^3-1=7个状态，不包括全0；

　　如果您理解了上图，至少可以得到三条结论：

　　1)初始状态是由SEED提供的；

　　2)当反馈系数不同时，得到的状态转移图也不同；必须保证g_n===1,否则哪来的反馈？

　　3)D触发器的个数越多，产生的状态就越多，也就越“随机”；

然后我们可以看到这个计数器循环起来了，无论进入那样一个状态除了0之外，都可以循环着回来，其实这里就相当于了一个3bit的伪随机数，很有意思，不是所有的多项式都有这个特性，我们现在在从数学上面来看看这个问题,其实最上面的电路是可以看成是一个除法电路，在Galois域的一个除法电路。现在假设的是R（x）是寄存器中剩余的数据，M(x)是输入的码字多项式，然后数学公式可以表示成：

LFSR的工作原理以及LFSR在CRC上的应用

然后分别计算出了Ｍ（ｘ）的各种情况，

  LFSR的工作原理以及LFSR在CRC上的应用

对于这个部分的计算我开始走进了误区，因为开始我把这的除法当作二进制除法来算了，所以一直没得到正确的结果，后来我明白了这的除法是模二的除法，在LFSR的结果中，多项式中的“+”都是模2加，就是异或运算，所以是没有进位的概念；同样，这里的除法秀的也是模2除法，即除法过程中用到的减法是模2减法，是不会产生加法进位和减法借位的运算，所以在进行模2除法时，只要部分余数首位为1，便可上商1，否则上商0，然后按照模2减法求得余数，当被除数被除完时，最后得到比除数少一位的余数。

这里用一个例子说明一下，比如M(x)=x7时，R(x)=1;模2的计算公式如下：

LFSR的工作原理以及LFSR在CRC上的应用

 

所以这里一定要区别模2和二进制数之间的运算的区别。

M(x)和R(x)到底是什么意义呢？

比如M(x)=1时，R(x)=1，指的就是当M(x)输入一个1时，这时的R(x)为1，即寄存器剩余的数为001，即Q1=1，Q2=0，Q3=0。

又M(x)=x时，R(x)=x，指的就是当M(x)顺序输入1，0时，这时的R(x)为x，即寄存器剩余的数为010，即Q1=0，Q2=1，Q3=0。

同理，可以知道，当M(x)=x6时，R(x)=x2+1，指的就是当M(x)顺序输入1，0，0，0，0，0，0时，这时的R(x)为x2+1，即寄存器剩余的数为010，即Q1=1，Q2=0，Q3=1。

可以看出，当第一个时钟时输入端输入一个1时，以后保持输入端为0，则随着时钟的到来，输入码字多项式就是按照1，x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，…，xn这样的顺序发展着，观察前六个输入的R(x)分别对应的输出为：001，010，100，011，101，111，101，111，刚好为除去000的其他七个状态，当M(x)为x7时，输出又回来001，所以输出一直这样循环下去，因此LFSR可以用来BIST的伪随机测试码产生器。