多元回归与相关------（二）多元相关和偏相关

在 M=m+1 个变数中，m个变数的综合和一个变数的相关，叫做多元相关或负相关（multiple correlation）;

其余M-2个变数皆固定时，指定的两个变数间相关，叫做偏相关（partial correalation）。

从相关关系的性质看，多元相关和偏相关的M个变数都是随机变数，并无自变数和依变数之分。

多元相关和偏相关的统计数也常用于有自变数和依变数之分的资料，并作为回归显著性的一个指标。

一、多元相关

多元相关分析师计算多元相关系数并测验其显著性。

（1）多元相关系数

在m个变数和1个变数的多元相关中，多元相关系数记作 ,读作y和m个变数的多元相关系数。

m个自变数对y的回归平方和为,占y的总平方和的比率愈大，表明y和m个自变数的多元相关愈密切，可定义：

                

 ,在一定自由度下，的值愈接近1，多元相关愈密切；的值愈接近0，多元相关愈不密切 。

因为多元回归的平方和一定大于任一自变数对y的回归平方和，故多元相关系数一定大于任一自变数对y的简单相关系数的绝对值大。

（2）多元相关系数的假设测验

令总体的多元相关系数为  ，则对多元相关系数的假设测验   对   ，F测验：

                               ,     为  的缩写

多元相关系数的假设测验和多元回归方程的假设测验是等价的。

在 、 一定时，给定显著水平  下的F值一定，可计算显著水平  时的临界 R 值：

                

二、偏相关：计算偏相关系数并测验其显著性

（1）偏相关系数

偏回归系数是在其他m-1个自变数都保持一定时，指定的某一自变数对于对于依变数y的效用；

偏相关系数则表示在其它M-2个变数都保持一定时，指定的两个变数间相关的密切程度。

偏相关系数是以r带右下标表示。若有 ，， 3个变数，则  表示 变数保持一定时，，变数的偏相关系数；

  表示 变数保持一定时，，变数的偏相关系数；  表示 变数保持一定时，，变数的偏相关系数。

若有M个变数，则偏相关系数共有  个。

在多个变数错综复杂的关系中，偏相关系数可帮助排除假象相关，找到真实联系最为密切的变数。

以上R中的主对角线元素为各个变数的自身相关系数，都等于1；

该矩阵以主对角线为轴而对称，即  。逆阵中的元素也是以主对角线为轴对称的，即

（2）偏相关系数的假设测验

偏相关系数  的测验也需要通过转换进行。令总体偏相关系数 ，测验  对   则：

    

（3）偏相关与简单相关的关系

偏相关和偏回归的方法分析时，消除了自变数相关的混淆，能够表现出自变数和依变数的单独关系。

简单相关包含有其他因素作用成分在内的相关与回归，主要研究目的是正确选用适当的统计指标。