JZOJ6754.【2020.07.17NOI模拟】T3(always)

Description

• 有$n$种颜色，第$i$种颜色有$c[i]$个。
• 对于所有$\sum c[i]$个元素的排列，它的贡献为$\prod \frac{1}{l_k}$，其中$l_k$为首尾相接之后第$k$个极大连续段的长度。
• 求$\frac{(\sum c[i])!}{\prod c[i]!}$个排列的贡献之和模998244353。
• $n\le 1e5,\sum c[i]\le 2e5$

Solution

• 这是一道容斥容斥再容斥的题目。
• 首先考虑一条链，单独考虑一个颜色的生成函数的贡献，那么这个颜色分成$j$段的贡献就是(有$e^{xk}={\sum }_{i>=0}\frac{(xk{)}^i}{i!}$)：
  $$(e^x-1{)}^j[x^{c[i]}]=\frac{{\sum }_{k=0}^j{(}_j^k)(-1{)}^{k-j}{k}^{c[i]}}{c[i]!}$$
• 这样就可以卷积求出所有$j$的贡献。
• 考虑直接把同一种颜色的$j$种元素当做可重元素，那么就是可重元素的排列问题，系数乘上$\frac{1}{j!}$即可卷积。但是这样可能两个同一种颜色的块分到了相邻的地方，所以要再容斥。
• 暴力枚举有$k$个合并到了一起。
• $g_k={\sum }_{k=0}^{j-1}{(}_{j-1}^k)(-1{)}^k{f}_j$。用$g_k$求可重元素排列的方案数。

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• 接下来考虑有环的答案，直接考虑第一个是哪个元素，以及这个元素有多少个，那么贡献就要再乘上这个个数。
• 同样考虑如果第一段的贡献特殊，颜色$i$有$j+1$段的贡献：
  $$e^{x}x(e^x-1{)}^j[x^{c[i]}]=\frac{{\sum }_{k=0}^j{(}_j^k)(-1{)}^{j-k}(k+1{)}^{c[i]-1}}{(c[i]-1)!}$$
• 但是不能有一段放在组合之后的第一段和最后一段，所以我们要在之前可重排列的容斥的基础之上再容斥，即钦定有一段在第一段，有一段在最后一段，在原方案上减去它们再加上有一段在第一段同时有一段在最后一段。

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• 考虑第一部分是没有开头的生成函数，第二部分是有的，分别记为$F,G$，那么用合并果子的方式合并不同的颜色，$G=F_1\ast G_2+G_1\ast F_2,F=F_1\ast F_2$。
• 总复杂度$O(nlo{g}^{2}n)$

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long 
#define mo 998244353
#define maxn 200005
#define maxm 525000
#define N 524288
#define clear(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define I(x) (((x)&1)?-1:1)
using namespace std;

int n,i,j,k,c[maxn];
ll f[maxm],g[maxm],fct[maxn],invf[maxn];

void read(int &x){
	x=0; char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
}

ll ksm(ll x,ll y){
	ll s=1;
	for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1)
		s=s*x%mo;
	return s;
}

ll C(int n,int m){
	return fct[n]*invf[n-m]%mo*invf[m]%mo;
}

int lim,bt[maxm]; ll A[maxm],B[maxm],w[maxm];
int getlim(int x){
	int lim=1; while (lim<=x) lim<<=1;
	for(int i=1;i<lim;i++) bt[i]=(bt[i>>1]>>1)|((i&1)*(lim>>1));
	return lim;
}

void dft(ll *a,int sig){
	for(int i=0;i<lim;i++) if (i<bt[i]) swap(a[i],a[bt[i]]);
	for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		int d=sig*N/(mid<<1),s=(sig<0)?N:0;
		for(int j=0;j<lim;j+=mid<<1){
			for(int k=0,p=s;k<mid;k++,p+=d){
				ll x=a[j+k],y=a[j+k+mid]*w[p];
				a[j+k]=(x+y)%mo,a[j+k+mid]=(x-y)%mo;
			}
		}
	}
	if (sig<0){
		ll inv=ksm(lim,mo-2);
		for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=a[i]*inv%mo;
	}
}

void multi(ll *a,ll *b){
	dft(a,1),dft(b,1);
	for(int i=0;i<lim;i++) b[i]=a[i]*b[i]%mo;
	dft(b,-1);
}

int tot;
vector<ll> F[maxn],G[maxn];
ll f1[maxm],g1[maxm],f2[maxm],g2[maxm],f0[maxm],g0[maxm];
struct arr{int i,s;arr(int _i=0,int _s=0){i=_i,s=_s;}};
int operator<(arr a,arr b){return a.s>b.s;}
priority_queue<arr> Q;

int main(){
//	freopen("ceshi.in","r",stdin);
	freopen("always.in","r",stdin);
	freopen("always.out","w",stdout);
	fct[0]=1;for(i=1;i<maxn;i++) fct[i]=fct[i-1]*i%mo;
	invf[maxn-1]=ksm(fct[maxn-1],mo-2);
	for(i=maxn-2;i>=0;i--) invf[i]=invf[i+1]*(i+1)%mo;
	w[0]=1,w[1]=ksm(3,(mo-1)/N);
	for(i=2;i<=N;i++) w[i]=w[i-1]*w[1]%mo;
	
	read(n);
	for(i=1;i<=n;i++) read(c[i]);
	if (n==1) {printf("%lld",invf[c[1]]);return 0;}
	for(int t=1;t<=n;t++){
		int m=c[t];
		lim=getlim(2*m);
		memset(A,0,sizeof(ll)*lim);
		memset(B,0,sizeof(ll)*lim);
		for(i=0;i<=m;i++) 
			A[i]=invf[i]*ksm(i,m)%mo,B[i]=invf[i]*I(i)*invf[m]%mo;
		multi(A,B);
		for(i=1;i<=m;i++) f[i]=B[i]*fct[i]%mo;
		memset(A,0,sizeof(ll)*lim);
		memset(B,0,sizeof(ll)*lim);
		for(i=1;i<=m;i++) A[i]=f[i]*fct[i-1]%mo;
		for(i=0;i<=m;i++) B[m-i]=invf[i]*I(i);
		multi(A,B);
		for(i=1;i<=m;i++) g[i]=B[m+i]*invf[i-1]%mo;
		F[t].push_back(0);
		for(i=1;i<=m;i++) F[t].push_back(g[i]*invf[i]%mo);
		
		memset(A,0,sizeof(ll)*lim);
		memset(B,0,sizeof(ll)*lim);
		for(i=0;i<m;i++) 
			A[i]=invf[i]*ksm(i+1,m-1)%mo,B[i]=invf[i]*I(i)*invf[m-1]%mo;
		multi(A,B);
		for(i=0;i<m;i++) f[i]=B[i]*fct[i]%mo; f[m]=0;
		memset(A,0,sizeof(ll)*lim);
		memset(B,0,sizeof(ll)*lim);
		for(i=1;i<m;i++) A[i]=fct[i-1]*f[i]%mo;
		for(i=0;i<=m;i++) B[m-i]=invf[i]*I(i);
		multi(A,B);
		g[m+1]=g[m+2]=0;
		for(g[0]=f[0],i=1;i<=m;i++) 
			g[i]=B[m+i]*invf[i-1]%mo;
		for(i=0;i<=m;i++) g[i]=(g[i]-2*g[i+1]+g[i+2])%mo;
		for(i=0;i<=m;i++) G[t].push_back(g[i]*invf[i]%mo);
		Q.push(arr(t,m));
	}
	tot=n;
	while (Q.size()>1){
		arr t1=Q.top(); Q.pop();
		arr t2=Q.top(); Q.pop();
		lim=getlim(t1.s+t2.s);
		memset(f1,0,sizeof(ll)*lim);
		memset(g1,0,sizeof(ll)*lim);
		memset(f2,0,sizeof(ll)*lim);
		memset(g2,0,sizeof(ll)*lim);
		for(i=0;i<F[t1.i].size();i++) f1[i]=F[t1.i][i];
		for(i=0;i<G[t1.i].size();i++) g1[i]=G[t1.i][i];
		for(i=0;i<F[t2.i].size();i++) f2[i]=F[t2.i][i];
		for(i=0;i<G[t2.i].size();i++) g2[i]=G[t2.i][i];
		memset(f0,0,sizeof(ll)*lim);
		memset(g0,0,sizeof(ll)*lim);
		dft(f1,1),dft(g1,1),dft(f2,1),dft(g2,1);
		for(i=0;i<lim;i++) {	
			g0[i]=(f1[i]*g2[i]%mo+g1[i]*f2[i]%mo)%mo;
			f0[i]=f1[i]*f2[i]%mo;
		}
		dft(g0,-1),dft(f0,-1);
		k=t1.s+t2.s;
		for(i=0;i<=t2.s;i++)
			F[t2.i][i]=f0[i],G[t2.i][i]=g0[i];
		for(i=t2.s+1;i<=k;i++){
			F[t2.i].push_back(f0[i]);
			G[t2.i].push_back(g0[i]);
		}
		Q.push(arr(t2.i,k));
	}
	ll ans=0; arr t=Q.top();
	for(i=0;i<G[t.i].size();i++)
		(ans+=G[t.i][i]*fct[i]%mo)%=mo;
	printf("%lld",(ans+mo)%mo);
}