关系代数(Relational Algebra)概览

关系代数概览

传统的关系代数的操作包含四个大类
1 平常的集合操作—并、交、差
2 selection(选择)：选择满足某些条件的行; projection(投影)：选择某些属性 的列
3 合并两个关系元组的操作，包括笛卡尔乘积(Cartesian product)以及联合(join)操作
4 重命名(renaming)操作

以上是关系代数的操作，下面对其进行一一讲解：

关系的集合操作

三个基本的集合操作如下

• R ⋃ ⋃ S
  R和S的并，是R有的或S有的或者两者都有的，如果一个元素在R和S中都有的话，那么只出现一次

• R ⋂ ⋂ S
  R和S的交，是R和S所共有的元素

• R — S
  是R和S的差集，其结果是出现在R中而不出现在S中的元素，R-S和S-R是不同的，S-R是出现在S中而不出现在R中的元素

在应用以上三个操作的时候，需要对关系R和S做出一定的限制

• R和S必须具有相同属性集合的模式

• 在应用以上三个操作的时候，关系S和R的列必须是有序的，两个关系的属性的顺序应该是一致的

例子：

name	address	gender	birthdate
Zhang Shuai	Xiajin, Dezhou, Shandong	M	3/3/94
Wang Zi	Mizhi, Yulin, Shanxi	F	2/2/93

关系R

name	address	gender	birthdate
Zhang Shuai	Xiajin, Dezhou, Shandong	M	3/3/94
Zhao Liu	Jinhua, Shaoxing, Zhejiang	M	5/5/96

关系S

对这两个关系应用以上三个操作的结果如下

• R ⋃ ⋃ S

name	address	gender	birthdate
Zhang Shuai	Xiajin, Dezhoum, Shandong	M	3/3/94
Wang Zi	Mizhi,Yulin,Shanxi	F	2/2/93
Zhao Liu	Jinhua, Shaoxing, Zhejiang	M	5/5/96

• R ⋂ ⋂ S

name	address	gender	birthdate
Zhang Shuai	Xiajin, Dezhou, Shandong	M	3/3/94

• R — S

name	address	gender	birthdate
Wang Zi	Mizhi, Yulin, Shanxi	F	2/2/93

投影(projection)

投影操作用于从关系R中找出拥有某些属性的列，表达式 πA1,A2,...,An(R) π A 1 , A 2 , . . . , A n ( R ) 的值为属性 A1,A2,...,An A 1 , A 2 , . . . , A n 的列，将这些列选择出来后，按原顺序排列

name	address	gender	birthdate
Zhang Shuai	Xiajin, Dezhoum, Shandong	M	3/3/94
Wang Zi	Mizhi,Yulin,Shanxi	F	2/2/93
Zhao Liu	Jinhua, Shaoxing, Zhejiang	M	5/5/96

个人信息关系

应用如下表达式：

πname,birthdate π n a m e , b i r t h d a t e
得到如下关系：

name	birthdate
Zhang Shuai	3/3/94
Wang Zi	2/2/93
Zhao Liu	5/5/96

需要注意的是：当仅选出一列时，如果该列中存在相同的值，那么只会保留一个值

选择(Selection)

选择操作用于选出满足条件的某些行，并且将整个操作记为 σC(R) σ C ( R ) 。C被称作条件表达式。考虑如下关系：

titile	year	length	genre	studioName	producerC#
Star Wars	1977	124	sciFi	Fox	12345
Galaxy Quest	1999	104	comedy	Dreamworks	17890
Waune’s World	1992	95	comedy	Paramount	99999

电影关系

使用如下操作

σlength≥100(Movies) σ l e n g t h ≥ 100 ( M o v i e s )
可以得到一下关系：

title	year	length	genre	studioname	producerC#
Star War	1977	124	comedy	Dreamworks	17890
Galaxy quest	1999	104	comedy	Paramount	99999

条件C可以是一个复杂的表达式：

σlength≥100ANDstudioName=′Fox′(Movies) σ l e n g t h ≥ 100 A N D s t u d i o N a m e = ′ F o x ′ ( M o v i e s )
可以得到这样一个元组

title	year	length	genre	studioName	producerC#
Star War	1977	124	true	Fox	12345

笛卡尔乘积(Cartesian Product)

假设有两个关系R和S，则笛卡尔乘积就是将两个关系进行组合，组合的结果中第一部分可以是R中的任意一行，第二部分可以是S中的任意一行。其表达式为R×S，在进行组合的过程中，如果两个关系有相同的属性，且属性值是相同的，那需要将R或者S作为前缀放在属性之前，下例：

A	B
1	2
3	4

关系R

B	C	D
2	5	6
4	7	8
9	10	11

关系S

A	R.B	S.B	C	D
1	2	2	5	6
1	2	4	7	8
1	2	9	10	11
3	4	2	5	6
3	4	4	7	8
3	4	9	10	11

R×S

自然连接(natural Joins)

自然连接是一种比较特殊的等价连接，其将关系中具有相同的列名的列进行匹配，对于某行来说，如果两个列名相同，且元素相同，则进行连接，使用R ⋈ ⋈ S代表此操作，下例
取上例中的R和S，R ⋈ ⋈ S的结果为

A	B	C	D
1	2	5	6
3	4	7	8

R⋈S R ⋈ S
再举一例：

A	B	C
1	2	3
6	7	8
9	7	8

关系U

B	C	D
2	3	4
2	3	5
7	8	10

关系V

A	B	C	D
1	2	3	4
1	2	3	5
6	7	8	10
9	7	8	10

U⋈S U ⋈ S

theta-连接(theta-joins)

theta指的是一些随机条件，用代表 θ θ 。对于两个关系，用公式表示为 R⋈CS R ⋈ C S
其基本步骤为：

• 计算R和S的乘积

• 选出满足条件C的元组

给出如下表达式：

U⋈A<DS U ⋈ A < D S
对如下U和V进行操作：

A	B	C
1	2	3
6	7	8
9	7	8

关系U

B	C	D
2	3	4
2	3	5
7	8	10

关系V
给出U×V

A	U.B	U.C	V.B	V.C	D
1	2	3	2	3	4
1	2	3	2	3	5
1	2	3	7	8	10
6	7	8	2	3	4
6	7	8	2	3	5
6	7	8	7	8	10
9	7	8	2	3	4
9	7	8	2	3	5
9	7	8	7	8	10

U×V
得出结果：

A	U.B	U.C	V.B	V.C	D
1	2	3	2	3	4
1	2	3	2	3	5
1	2	3	7	8	10
6	7	8	7	8	10
9	7	8	7	8	10

U⋈A<DS U ⋈ A < D S

或者更复杂一点的表达式

U⋈A<DANDU.B≠V.BV U ⋈ A < D A N D U . B ≠ V . B V

A	U.B	U.C	V.B	V.C	D
1	2	3	7	8	10

结果

对操作进行组合以进行查询

举一例：
由Fox制作的长度为100分钟以上的电影的标题和年份是多少？

• 首先，查的是标题和年份，用的是projection
• 由Fox制作的且100分钟以上，用的selection

先进行selection，然后进行projection，用公式可以表示为

πtitle,year(σlength≥100(Movies)⋂studioName=′Fox′(Movies)) π t i t l e , y e a r ( σ l e n g t h ≥ 100 ( M o v i e s ) ⋂ s t u d i o N a m e = ′ F o x ′ ( M o v i e s ) )
或者，可以这样写：
πtitle,year(σlength≥100ANDstudioName=′Fox′(Movies)) π t i t l e , y e a r ( σ l e n g t h ≥ 100 A N D s t u d i o N a m e = ′ F o x ′ ( M o v i e s ) )

命名和重命名

使用 ρS(A1,A2,...,An)(R) ρ S ( A 1 , A 2 , . . . , A n ) ( R ) ，来重命名R，内部的元组是一样的，只是关系名和属性名改变了，如果不想改变属性名，那么只需要 ρS(R) ρ S ( R ) 即可
以上述的关系为例，在笛卡尔乘积部分，合并时存在相同的属性名，需要加前缀进行区分，由此，我们可以使用重命名方法：

A	B	X	C	D
1	2	2	5	6
1	2	4	7	8
1	2	9	10	11
3	4	2	5	6
3	4	4	7	8
3	4	9	10	11

R× ρX,C,D(S) ρ X , C , D ( S )
或者我们写成这样：
ρRS(A,B,X,C,D)(R×S) ρ R S ( A , B , X , C , D ) ( R × S )