面积
$(1)~~S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bcsinA$
$(2)~~S=\frac{1}{2}(a+b+c)r，r$为内切圆半径
$(3)~~S=\frac{abc}{4R}，R$为外接圆半径
$(4)~~S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}，p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，海伦公式
$(5)~~S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[c^2a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]}$，秦九韶公式
$(6)~~S=\frac{1}{2}\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right|$，向量叉积
外心
设圆心为$(x_0,y_0)$，半径为$R$。已知三角形三点$A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)$。
$$ \begin{cases} R^2=(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2 ~~\text{(1)} \\ R^2=(x_0-x_2)^2+(y_0-y_2)^2 ~~\text{(2)} \\ R^2=(x_0-x_3)^2+(y_0-y_3)^2 ~~\text{(3)} \end{cases}$$
$(1)-(2)，(1)-(3)$得：
$$ \begin{cases} 2x_0(x_1-x_2)+2y_0(y_1-y_2)=x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2 \\ 2x_0(x_1-x_3)+2y_0(y_1-y_3)=x_1^2-x_3^2+y_1^2-y_3^2 \end{cases}$$
$$ \begin{cases} 2A_1x_0+2B_1y_0=C_1 \\ 2A_2x_0+2B_2y_0=C_2 \end{cases}$$
$$ x_0= \frac{\begin{vmatrix}C_1 & B_1\\C_2 & B_2 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix}A_1 & B_1\\A_2 & B_2 \end{vmatrix}} ~~~~ y_0= \frac{\begin{vmatrix}A_1 & C_1\\A_2 & C_2 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix}A_1 & B_1\\A_2 & B_2 \end{vmatrix}} $$
半径：$R=\frac{a}{2sinA}=\frac{b}{2sinB}=\frac{c}{2sinC}=\frac{abc}{4S}$
内心
设$O$是内切圆圆心，半径为$r$。
$O$是内心的充要条件：$a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}=0$
内心坐标：$\left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c},\frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right)$
半径：$r=\frac{s}{p}$
中心
坐标：$(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$
性质：
(1)到顶点距离的平方和最小
证明：
设三角形三顶点坐标为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$，任意一点$(x,y)$
$\begin{align*} 距离D^2 &= (x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(x-x_3)^2+(y-y_3)^2 \\ &= \underbrace{3x^2-2x(x_1+x_2+x_3)+x_1^2+x_2^2+x_3^2 }_{f(x)}+\underbrace{3y^2-2y(y_1+y_2+y_3)+y_1^2+y_2^2+y_3^2}_{f(y)} \end{align*} $
当$x=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$时，$f(x)$有最小值。
当$y=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$时，$f(y)$有最小值。
又因为中心坐标为$\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$，所以$\dots$
(2)到三边距离之积最大
证明：
设$P$为三角形$ABC$内一点，连接$AP$并延长交$BC$于$N$点，连接$BP$并延长交$AC$于$Q$点，连接$CP$并延长交$AB$于$M$点，过$P$向$BC$作垂线交于点$E$，过$P$向$AC$作垂线交于点$F$，过$P$向$AB$作垂线交于点$D$。
$证：\\ \begin{align*} S&= S_{\triangle APB}+ S_{\triangle BPC}+ S_{\triangle CPA} \\ &=\frac12 (ah_1+bh_2+ch_3)\\ &\geqslant \frac 12 \times 3 \times \sqrt[3]{abch_1h_2h_3}~~(当且仅当ah_1=bh_2=ch_3时，取等号) \end{align*} \\ \Rightarrow h_1h_2h_3 \leqslant \frac{8S^3}{27abc}~~(当且仅当ah_1=bh_2=ch_3时，取等号) \\ 即：S_{\triangle APB}= S_{\triangle BPC}= S_{\triangle CPA}时取得最大值 \\ 根据燕尾定理：\frac{S_{\triangle APB}}{S_{\triangle APC}}=\frac{BN}{CN}=1,\therefore N为中点。 \\ 同理：M为中点，Q为中点。 \\ 又\because P为三线交点，\therefore P为中心。$
垂心
设$P(x_0,y_0)$为三角形垂心。已知三角形三点$A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)$。
$$ \begin{cases} \vec{AP} \cdot \vec{BC}=0 \\ \vec{BP} \cdot \vec{AC}=0 \end{cases}$$
$$ \begin{cases} (x_0-x_1)(x_3-x_2)+(y_0-y_1)(y_3-y_2)=0 \\ (x_0-x_2)(x_3-x_1)+(y_0-y_2)(y_3-y_1)=0 \end{cases}$$
$$ \begin{cases} x_0(x_3-x_2)+y_0(y_3-y_2)=x_1(x_3-x_2)+y_1(y_3-y_2)\\ x_0(x_3-x_1)+y_0(y_3-y_1)=x_2(x_3-x_1)+y_2(y_3-y_1) \end{cases}$$
$$ \begin{cases} x_0A_1+y_0B_1=x_1A_1+y_1B_1=C_1\\ x_0A_2+y_0B_2=x_2A_2+y_2B_2=C_2 \end{cases}$$
$$ x_0= \frac{\begin{vmatrix}C_1 & B_1\\C_2 & B_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A_1 & B_1\\A_2 & B_2 \end{vmatrix}} ~~~~ y_0= \frac{\begin{vmatrix}A_1 & C_1\\A_2 & C_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A_1 & B_1\\A_2 & B_2 \end{vmatrix}} $$