字符串匹配-有限自动机

字符串匹配-有限自动机

本文内容与《算法导论》中字符串匹配章节相关并部分摘录。

常用的字符串匹配算法有朴素字符串匹配算法，Rabin-Karp算法，利用有限自动机进行字符串匹配和KMP算法等。前面两种比较简单，重点是后面两种

利用有限自动机进行字符串匹配

假设要对文本字符串T进行扫描，找出模式P的所有出现位置。这个方法可以通过一些办法先对模式P进行预处理，然后只需要对T的每个文本字符检查一次，并且检查每个文本字符所用时间为常数，所以在预处理建好自动机之后进行匹配所需时间只是Θ（n）。

假设文本长度为n，模式长度为m，则自动机将会有0,1，…，m这么多种状态，并且初始状态为0。先抛开自动机是怎样计算出来的细节，只关注自动机的作用。在从文本从左到右扫描时，对于每一个字符a，根据自动机当前的状态还有a的值可以找出自动机的下一个状态，这样一直扫描下去，并且一定自动机状态值变为m的时候我们就可以认为成功进行了一次匹配。先看下面简单的例子：

假设现在文本和模式只有三种字符a,b,c，已经文本T为"abababaca",模式P为"ababaca"，根据模式P建立自动机如下图(b)（先不管实现细节）：

图为一些状态转化细节：

如图©,对照自动机转换图(b),一个个的扫描文本字符，扫描前状态值初始化为0，这样在i = 9的时候状态值刚好变成7 = m，所以完成一个匹配。

现在问题只剩下怎样根据给出的模式P计算出相应的一个自动机了。这个过程实际上并没有那么困难，下面只是介绍自动机的构建，而详细的证明过程可以参考书本。

还是用上面的那里例子，建立模式P = “ababaca"的有限自动机。首先需要明白一点，如果当前的状态值为k，其实说明当前文本的后缀与模式的前缀的最大匹配长度为k，这时读进下一个文本字符，即使该字符匹配，状态值最多变成k + 1.假设当前状态值为5，说明文本当前位置的最后5位为"ababa”，等于模式的前5位。

如果下一位文本字符是"c"，则状态值就可以更新为6.如果下一位是"a"，这时我们需要重新找到文本后缀与模式前缀的最大匹配长度。简单的寻找方法可以是令k = 6(状态值最大的情况），判断文本后k位与模式前k位是否相等，不等的话就k = k - 1继续找。由于刚才文本后5位"ababa"其实就是模式的前5位，所以实际上构建自动机时不需要用到文本。这样可以找到这种情况状态值将变为1(只有a一位相等）。同理可以算出下一位是"b"时状态值该变为4（模式前4位"abab"等于"ababab"的后缀）

下面是书本伪代码：∑代表字符集，δ(q,a)可以理解为读到加进字符a后的状态值

用上面的方法计算自动机，如果字符种数为k，则建立自动机预处理的时间是O(m ^ 3 * k)，有方法可以将时间改进为O(m * k)。预处理完后需要Θ（n）的处理时间。

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