（数论一）积性函数与狄利克雷卷积

​ 今天做的一道题就是有关积性函数与狄利克雷卷积的，很懵逼。觉得有必要学一手了

一. 积性函数是什么呢？

​ 对于函数f，对于任意的a,b互质，都有:

f(a * b) = f(a) * f(b) 

​ 这样的函数f就称为积性函数，若a,b不互质也满足上述条件的话，那么函数f又可称为完全积性函数

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它又有什么性质呢？

1.若n = p1^q1✖️p2q2✖️ …✖️pn^qn，那么对于积性函数f，有：

f(n) = f(p1^q1) * f(p2^q2) * ... * f(pn^qn)

2.若积性函数f满足f(p^n) = f^n§，那么f也是完全积性函数

二. 那么，狄利克雷卷积是什么呢？

​ 对于任意函数f,g，令h = f * g,都有：

h(n) = ∑d|n f(d)⋅g(n / d)  //d为能被n整除的数

​ 此时这个h就可以称为f和g的狄利克雷卷积

它有什么性质呢？

​ 1.狄利克雷卷积满足交换律，结合律，加法分配律：

f * g = g * f
f * g * h = f * (g * h)
f * (g + h) = f * g + f *h

​ 2.积性函数卷个积性函数的狄利克雷卷积仍旧是积性函数

​

三. 常见的积性函数和狄利克雷卷积有哪些？

我们先说一下常见的积性函数：

1.id^k(n) = n^k：幂函数，属于完全积性函数

2.I(n) = 1: 恒等函数，属于完全积性函数，相当于id^0(n)

3.id(n) = n： 单位函数，属于完全积性函数，相当于id^1(n)

4.e(n) = [n = 1]：代表单位元函数，它卷上任意的函数都得原函数，即：

e * f = f

5.φ(n)：欧拉函数，表示小于等于 n 且与 n 互质的数的个数

6.μ(n)：莫比乌斯函数，在狄利克雷卷积中与恒等函数互为逆元：

μ * I = e

​ 关于莫比乌斯函数公式：

μ(n) = 1;			//当n为1时
μ(n) = (-1)^k		//当n由k个不同质数相乘得到时
μ(n) = 0;			//其余情况

7.σ(n)：约数和函数，表示n的全部约数和

8.τ(n)：约数个数函数，表示n的全部约数个数

9.σk(n)=∑d|n d^k ：因数函数，表示n全部约数的k次方和

再来说一下常用的狄利克雷卷积：

1. I ∗ μ = e （即莫比乌斯函数与恒等函数互为逆元）
2. μ∗id = φ (即莫比乌斯函数卷上单位函数为欧拉函数)
3. I ∗ id = σ（即恒等函数卷个单位函数为约数和函数）
4. I ∗ I = τ （即恒等函数卷个恒等函数为约数个数函数）
5. I * φ = id (即恒等函数卷个欧拉函数为单位函数)

可以由狄利克雷卷积证明很多结论，比如：

1.n = ∑d|n φ(d) ，也就是n等于全部 φ(d)的和（φ(d)为d的欧拉函数）

2.σ(n) = ∑d|n τ(d) ∗ φ(n / d)，也就是欧拉函数卷个约数个数函数为约数和函数

3.二项式反演：

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