Nakagami-m 信道

Nakagami-m 分布是日本学者Nakagami 在1960年的一篇论文中提出的快衰落模型。

Nakagami-m 的表达式

我们遵照参考文献[1]的说法¹ ，假设接收信号表示如下：

$$r_n=g_n{s}_n+w_n$$

其中$r_n$表示接收信号，$g_n$表示信道增益，$s_n$表示发射信号，$w_n$是白噪声干扰。这个公式中我们默认$r_n$和$s_n$是电压或者电流信号，这样如果利用香农公式求解信道容量时我们需要转变成信噪功率比。

而 Nakagami-m 描述得就是$g_n$的变化情况。我们知道信号经过路径损耗之后，由于信道短时间内的变化还会发生快衰落，即$g_n$在某一值附近随机抽样。Nakagami-m 分布就是对这一“随机性”的描述。

Nakagami-m 分布的概率密度函数表示如下：

$$f(g)=\frac{2m^m\cdot g^{2m-1}}{\Gamma (m)\cdot \Omega }\cdot {\exp }^{-\frac{m{g}^2}{\Omega }},g\ge 0,m\ge \frac{1}{2}$$

其中$\Gamma (g)$表示伽马函数，$\Omega$表示$g$的归一化方差的逆。但是在参考文献[1]中表示信道增益平方的期望，即$\Omega =\mathbb{E}[|g{|}^2]$ ¹ ，参考文献[2]中表示为平均发射功率 ²。Nakagami 原论文说的“归一化方差的逆”我不理解，而后两种说法应该是相同的。之前提到的$g_n$是电压或者电流的增益，平方一下就是功率的增益。我们一般仿真也是直接按照功率来设置的，比如XXdBm。
参数$m$表示衰落的程度，值越大衰落越严重。$m=0.5$时是单边高斯分布，$m=1$时是瑞利分布，$m=\infty$时是随机信道。

伽马分布

更进一步，当$g_n$满足Nakagami-m分布时，$|g_n{|}^2$满足伽马分布。也就是说我们在仿真时没必要对$g_n$抽样，直接对$|g_n{|}^2$抽样再乘以发射功率就可以了。

下面我们用随机变量函数的概率分布推导这个结论。

设随机变量$X\sim \mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}-m，Y=X^2$，那么随机变量$Y$的分布函数有
$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =P(Y<y)\\ & =P(X^2<y)\\ & =P(X<\sqrt{y})(X非负)\\ & ={\int }_{-\infty }^{\sqrt{y}}{f}_X(x)\mathrm{d}x\end{array}$$
对分布函数求导即可得到概率密度函数，这里利用变上限积分求导法则容易得到：
$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& =F_Y^{{}^{\prime }}(y)\\ & =f_X(\sqrt{y})\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}\end{array}$$
把Nakagami-m分布中的$x$换成$\sqrt{y}$并乘以$\frac{1}{2\sqrt{y}}$即可得到随机变量$Y$的概率密度函数：
$$f_Y(y)=\frac{m^m\cdot y^{m-1}}{\Gamma (m)\cdot \Omega }\cdot {\exp }^{-\frac{my}{\Omega }},y\ge 0,m\ge \frac{1}{2}$$
这个形式便是伽马分布。

Python的相关包

Nakagami-m的Python包可以用scipy.stats.nakagami，文档页面的密度函数公式中取的$\Omega =1$。
伽马分布可以用numpy.random.gamma，文档的公式中$\Omega =1$，另一个参数$\theta =\Omega /k$，$k$也就是本文中的$m$。
可以看到$k\theta =\Omega$，即伽马分布的均值为形状参数$k$和尺度参数$\theta$的乘积，伽马分布的方差为$\sqrt{k}\theta$。一些图像

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1. S. A. Dianat, “SNR Estimation in Nakagami Fading Channels with Arbitrary Constellation,” 2007 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing - ICASSP '07, Honolulu, HI, 2007, pp. II-325-II-328.IEEE链接 ↩︎ ↩︎

2. 曾孝平,毛海伟,杨凡,简鑫,李诗琪,蒋欣,方伟.Nakagami-m衰落信道下D2D通信自适应调制算法研究[J].通信学报,2018,39(09):31-42.知网链接 ↩︎