多元函数第六：连续函数（6）Bolzano-Weierstrass 波尔查诺-维尔斯特拉斯定理 聚点与列紧集

记得我上研究生时，老师给我科普的第一个数学概念就是聚点，从此踏上了数学的不归路。所以，重温这部分知识，还是难掩激动。与聚点相对应的概念，是孤立点。首先给出这两个概念的严格定义。

定义 给定${\mathbb{R}}^n$上的点集$A$，我们说$x\in {\mathbb{R}}^n$是$A$的一个孤立点，如果存在$x$的邻域$U$满足$U\cap A=\{x\}$。

定义 给定${\mathbb{R}}^n$上的点集$A$，我们说$x\in {\mathbb{R}}^n$是$A$的一个聚点点，如果对$x$的任何邻域$U$，$U\cap A$包含无线多个点。

根据上面的定义，$A$的孤立点必然属于$A$，但聚点不一定。事实上，可以很容易证明，$A$的聚点必然属于它的闭包。

命题 1 $x$是$A$的聚点，当且仅当$x\in cl(A)$且$x$不是$A$的孤立点。
证明略。

例 开区间$(a,b)$的聚点集是闭区间$[a,b]$。

例 设$A=\{1,1/2,1/3,...,1/n,...\}$。那么它的孤立点集是$A$，聚点集是$\{0\}$。

例 有理数集$\mathbb{Q}$的聚点集是实数集$\mathbb{R}$。

命题 2 点$x_0$是集合$A$的聚点的充要条件是存在点列$\{x_m\}\subseteq A$满足$x_m\ne x_0$且$\lim x_m=x_0$。

证明. 充分性。设$\{x_m\}\subseteq A$是满足$x_m\ne x_0$且$\lim x_m=x_0$的点列。令$y_1=x_1$。同时，对任意正整数$k\ge 2$，定义$y_k=x_{n_k}$为某个满足$|x_{n_k}-x_0|<\frac{1}{2}|y_{k-1}-x_0|$的$x_{n_k}$。那么序列$\{y_k\}$中的元素两两互异，同时$\lim y_k=x_0$。

于是，对任意的$\delta >0$都存在正整数$K$满足$|y_K-x_0|<\delta$。这说明集合$\{y_K,y_{K+2},...\}\subseteq U(x_0,\delta )$。又由于$\{y_K,y_{K+2},...\}$是集合$A$的无限子集，故$x_0$是A的聚点。

必要性。如果$x_0$是$A$的聚点，那么对任意的正整数$m$都满足集合$U(x_0,1/m)\cap A$包含无限个元素。故而存在$x_m\ne x_0$且$x_m\in U(x_0,1/m)\cap A$。这样，序列$\{x_m\}\subseteq A$显然满足$\lim x_m=x_0$。命题证毕。

定理 （Bolzano-WeierStrass）任何一个有界无限集合$A\subset {\mathbb{R}}^n$都存在至少一个聚点。

证明。我们只考虑$n=1$也即$A\subset \mathbb{R}$的情形。对于一般的情形，证明完全类似。由于集合有界，故存在闭区间$I_0=[a,b]$满足$A\subseteq I_0$。将闭区间$I_0$等分成$I_{0,1}=[a,(a+b)/2]$和$I_{0,2}=[(a+b)/2,b]$。这两个区间中，必然存在某个$I_{0,p}$满足$I_{0,p}\cap A$包含无限个元素（p=1或者2）。记$I_1$为满足上述条件的$I_{0,p}$。重复上述步骤，我们可以构造一系列的闭区间$\{I_m\}$满足下列条件。

• $I_1\supset I_2\supset I_3\supset ...$。
• $\lim diam{I}_m=0$。这里$diam{I}_m$是区间$I_m$的长度。
• $A\cap I_m$包含无限个元素。

由闭区间套定理知存在点$x_0\in {\cap }_{m=1}^{\infty }{I}_m$。

接下来，证明$x_0$是$A$的一个聚点。事实上，对于$x_0$的任意领域$U$都存在$I_m$满足$I_m\subset U$。由于$A\cap I_m$包含无限个元素，故$A\cap U$也包含无限个元素。定理证毕。

推论 1 设$S$是一个有界闭集。那么$S$中的任何无限子集$A$都至少存在一个聚点$x_0\in S$。

推论 2 设$\{A_m\}$是一列${\mathbb{R}}^n$上的有界闭集，它们满足$A_1\supset A_2\supset A_3\supset ...$。那么${\cap }_{m=1}^{\infty }{A}_m$非空。

证明。在集合$A_m$任意选取点$x_m\in A_m$，构造集合$A=\{x_1,x_2,...,x_m,...\}$。

如果$A$是有限集，那么必然存在某个$x$在序列$x_m$出现无限次。故而有$x\in {\cap }_{m=1}^{\infty }{A}_m$。
如果$A$是无限集，那么由于$A\subset A_1$，根据定理，我们知道$A$至少有一个聚点$x_0$。由于$x_0$是$A$的聚点，故而由命题2知，存在$\{x_m\}$的子序列$\{x_{m_k}\}$满足$\lim x_{m_k}=x$。同时，根据$x_{m_k}$的定义，我们知道对任意的$m_k$有，$\{x_{m_k},x_{m_{k+1}},...,\}\subset A_{m_k}$。又因为$A_{m_k}$是闭集，故而$x\in A_{m_k}$。由$m_k$的任意性知$x\in {\cap }_{k=1}^{\infty }{A}_{m_k}={\cap }_{m=1}^{\infty }{A}_m$。证毕。