高等数学张宇18讲 第三讲 一元函数微分学的概念与计算

  本章主要介绍了一元函数微分学的概念与计算。

例题三

例3.24 求下列函数所指定阶的导数。

（2）$y=x^2\sin 2x$，求$y^{(50)}$。

解  因$y=x^2\sin 2x$，即$y=(\sin 2x)\cdot x^2$，所以
$$\begin{array}{rl}{y}^{(50)}& =(\sin 2x{)}^{(50)}\cdot x^2+50(\sin 2x{)}^{(49)}\cdot (x^2{)}^{\prime }+\frac{50\cdot 49}{2!}(\sin 2x{)}^{(48)}\cdot (x^2{)}^{\prime \prime }\\ & =2^{50}{x}^2\sin \left(2x+\frac{50\pi }{2}\right)+50\cdot 2^{49}\cdot 2x\sin \left(2x+\frac{49\pi }{2}\right)+25\cdot 49\cdot 2^{48}\cdot 2\sin \left(2x+\frac{48\pi }{2}\right)\\ & =2^{50}\left(-x^2\sin 2x+50x\cos 2x+\frac{1225}{2}\sin 2x\right).\end{array}$$
（这道题主要利用了复合函数求导求解）

例3.25 设$f(x)=\arctan x$，求$f^{(n)}(0)$。

解  $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$，于是$f^{\prime }(x)(1+x^2)=1$。
  注意到已经有$f^{\prime }(x)$，两边再求$(n-1)$阶导数即可得到$f^{(n)}(x)$，故写出，由莱布尼兹公式，有
$$f^{(n)}(x)(1+x^2)+(n-1)f^{(n-1)}(x)\cdot 2x+\frac{(n-1)(n-2)}{2!}{f}^{(n-2)}(x)\cdot 2=0.$$
  令$x=0$，代入上式并化简，得$f^{(n)}(0)=-(n-1)(n-2)f^{(n-2)}(x)$。由$f(0)=0,f^{\prime }(0)=1$，得$f^{(2k)}(0)=0,f^{(2k+1)}(0)=(-1{)}^k(2k)!(k=0,1,2,\cdots )$（这道题主要利用了复合函数求导的方法求解）

新版例题三

例3.4

例3.5

例3.6

新版例题四

例4.16

例4.17

新版习题四

4.8

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