前言
今天群里有人问到一个图像的问题，但本质上是一个基本最小二乘问题，涉及到霍夫变换（Hough Transform），用到了就顺便总结一下。
内容为自己的学习记录，其中多有参考他人，最后一并给出链接。
一、霍夫变换（Hough）
A-基本原理
一条直线可由两个点A=(X1,Y1)和B=(X2,Y2)确定(笛卡尔坐标)
另一方面，
也可以写成关于（k,q）的函数表达式（霍夫空间）：
对应的变换可以通过图形直观表示：
变换后的空间成为霍夫空间。即：笛卡尔坐标系中一条直线，对应霍夫空间的一个点。
反过来同样成立（霍夫空间的一条直线，对应笛卡尔坐标系的一个点）：
再来看看A、B两个点，对应霍夫空间的情形：
一步步来，再看一下三个点共线的情况：
可以看出如果笛卡尔坐标系的点共线，这些点在霍夫空间对应的直线交于一点：这也是必然，共线只有一种取值可能。
如果不止一条直线呢？再看看多个点的情况（有两条直线）：
其实（3，2）与（4，1）也可以组成直线，只不过它有两个点确定，而图中A、B两点是由三条直线汇成，这也是霍夫变换的后处理的基本方式：选择由尽可能多直线汇成的点。
看看，霍夫空间：选择由三条交汇直线确定的点（中间图），对应的笛卡尔坐标系的直线（右图）。
到这里问题似乎解决了，已经完成了霍夫变换的求解，但是如果像下图这种情况呢？
k=∞是不方便表示的，而且q怎么取值呢，这样不是办法。因此考虑将笛卡尔坐标系换为：极坐标表示。
在极坐标系下，其实是一样的：极坐标的点→霍夫空间的直线，只不过霍夫空间不再是[k,q]的参数，而是
的参数，给出对比图：
是不是就一目了然了？
给出霍夫变换的算法步骤：
对应code:
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
|
function
[ Hough, theta_range, rho_range ] = naiveHough(I)
%NAIVEHOUGH Peforms the Hough transform in a straightforward way.
%
[rows, cols] =
size
(I);
theta_maximum = 90;
rho_maximum =
floor
(
sqrt
(rows^2 + cols^2)) - 1;
theta_range = -theta_maximum:theta_maximum - 1;
rho_range = -rho_maximum:rho_maximum;
Hough =
zeros
(
length
(rho_range),
length
(theta_range));
for
row = 1:rows
for
col = 1:cols
if
I(row, col) > 0
%only find: pixel > 0
x = col - 1;
y = row - 1;
for
theta = theta_range
rho =
round
((x *
cosd
(theta)) + (y *
sind
(theta)));
%approximate
rho_index = rho + rho_maximum + 1;
theta_index = theta + theta_maximum + 1;
Hough(rho_index, theta_index) = Hough(rho_index, theta_index) + 1;
end
end
end
end
|
其实本质上就是：
交点怎么求解呢？细化成坐标形式，取整后将交点对应的坐标进行累加，最后找到数值最大的点就是求解的，也就求解出了直线。
B-理论应用
这里给出MATLAB自带的一个应用，主要是对一幅图像进行直线检验，原图像为：
首先是对其进行边缘检测：
边缘检测后并二值化，就可以通过找非零点的坐标确定数据点。从而对数据点进行霍夫变换。对应映射到霍夫空间的结果为：
找出其中数值较大的一些点，通常可以给定一个阈值，Threshold一下。
这就完成了霍夫变换的整个过程。这个时候求解出来了其实就是多条直线的斜率k以及截距q，通常会根据直线的特性进一步判断，从而将直线变为线段：
不过这一步更类似后处理，其实已经不是霍夫变换本身的特性了。
给出对应的代码：
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
|
clc
;
clear
all
;
close
all
;
I =
imread
(
'circuit.tif'
);
rotI = imrotate(I,40,
'crop'
);
subplot
221
fig1 = imshow(rotI);
BW = edge(rotI,
'canny'
);
title
(
'原图像'
);
subplot
222
imshow(BW);
[H,theta,rho] = hough(BW);
title
(
'图像边缘检测'
);
subplot
223
imshow(imadjust(mat2gray(H)),[],
'XData'
,theta,
'YData'
,rho,...
'InitialMagnification'
,
'fit'
);
xlabel
(
'\theta (degrees)'
),
ylabel
(
'\rho'
);
axis
on,
axis
normal,
hold
on;
colormap
(hot)
P = houghpeaks(H,5,
'threshold'
,
ceil
(0.7*
max
(H(:))));
x = theta(P(:,2));
y = rho(P(:,1));
plot
(x,y,
's'
,
'color'
,
'black'
);
lines = houghlines(BW,theta,rho,P,
'FillGap'
,5,
'MinLength'
,7);
title
(
'Hough空间'
);
subplot
224, imshow(rotI),
hold
on
max_len = 0;
for
k = 1:
length
(lines)
xy = [lines(k).point1; lines(k).point2];
plot
(xy(:,1),xy(:,2),
'LineWidth'
,2,
'Color'
,
'green'
);
% Plot beginnings and ends of lines
plot
(xy(1,1),xy(1,2),
'x'
,
'LineWidth'
,2,
'Color'
,
'yellow'
);
plot
(xy(2,1),xy(2,2),
'x'
,
'LineWidth'
,2,
'Color'
,
'red'
);
% Determine the endpoints of the longest line segment
len =
norm
(lines(k).point1 - lines(k).point2);
if
( len > max_len)
max_len = len;
xy_long = xy;
end
end
% highlight the longest line segment
plot
(xy_long(:,1),xy_long(:,2),
'LineWidth'
,2,
'Color'
,
'red'
);
title
(
'直线检测'
);
|
对比自带的Hough与编写的Hough:
效果还是比较接近的。
看到Stackoverflow上的一个答案，觉得很好，收藏一下：
