切比雪夫不等式及其证明

切比雪夫不等式及其证明

本质: 随机变量$X$偏离$E（X)$越大，则其概率越小。

定理 设随机变量$X$具有数学期望$E(X)=\mu$,方差$D(X)={\sigma }^2$,则对$\forall ϵ\ge 0$,不等式
$$P\{|X-\mu |\ge ϵ\}\le \frac{{\sigma }^2}{{ϵ}^2}$$
成立。

证明：
只就连续性随机变量的情况来证明。设$X$的概率密度函数为$f(x)$,则有
$$\begin{gathered} P\{|X=\mu |\ge ϵ\}={\int }_{|x-\mu |\ge ϵ}f(x)dx \\ \le {\int }_{|x-\mu |\ge ϵ}f(x)dx \\ \le {\int }_{|x-\mu |\ge ϵ}\frac{|x-\mu {|}^2}{{ϵ}^2}f(x)dx \\ \le \frac{1}{{ϵ}^2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }(x-\mu {)}^{2}f(x)dx \\ =\frac{{\sigma }^2}{{ϵ}^2} \end{gathered}$$
另一种形式：

$P\{|X-\mu |<ϵ\}\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{{ϵ}^2}$

意义： 随机变量$分布未知$，$仅知E(X)和D(X)$情况下估计概率$P\{|X-E(X)|<ϵ\}$的界限