矩阵论（补充知识）：特征多项式的展开式

国内线性代数教材上关于n阶矩阵$A$的特征多项式的系数只讲了常数项、n-1次项和n次项的，分别为$(-1{)}^{n}det(A),-tr(A),1$。一直很好奇其他项的系数是什么样的。查资料知有如下定理：

• 定理：设$A\in C^{n\times n}$，则$A$的特征多项式$det(\lambda I-A)={\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+a_2{\lambda }^{n-2}+...+a_{n-1}\lambda +a_n$，其中$n-k$次项的系数$a_k=(-1{)}^k{p}_k$，$p_k$为$A$的全部$k$阶主子式之和

其中，主子式的定义如下：

• 定义：主子式：设$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，$1⩽i_1<i_2<\cdots <i_k⩽n$，称$$A\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_k\\ i_1& i_2& \cdots & i_k\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{i_1{i}_1}& a_{i_1{i}_2}& \cdots & a_{i_1{i}_k}\\ a_{i_2{i}_1}& a_{i_2{i}_2}& \cdots & a_{i_2{i}_k}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i_k{i}_1}& a_{i_k{i}_2}& \cdots & a_{i_k{i}_k}\end{array}\right]$$为A的一个k阶主子矩阵，其行列式为A的k阶主子式
  【注】主子式的一个重要特点是取$A$中的哪几行，就得对应地取$A$中的哪几列，这样行列相交处的元素取出来才是一个主子式。例如$A$的一阶主子式有n个，均为$A$的主对角线上的元素，$A$的$n$阶主子式只有1个，为$det(A)$。

知道这个定理，应用是没问题的，但要知道怎么证，就有点麻烦了。用google搜了半天，没找到一个既正确又容易看懂的证明，最后没想到用百度搜到了几个国内学者的证明，比较简明易懂。下面用两种方法证明该定理。

（这里补充一个显而易见的推论）

• 推论：设$A\in C^{n\times n}$，则$det(\lambda I+A)={\lambda }^n+p_1{\lambda }^{n-1}+p_2{\lambda }^{n-2}+...+p_{n-1}\lambda +p_n$，其中$n-k$次项的系数$p_k$为$A$的全部$k$阶主子式之和
  证明：
  由上述定理可得，$$\begin{array}{rl}det(\lambda I+A)& =det(\lambda I-(-A))\\ & ={\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+a_2{\lambda }^{n-2}+...+a_{n-1}\lambda +a_n\\ & ={\lambda }^n+(-1{)}^1(-1{)}^1{p}_1{\lambda }^{n-1}+(-1{)}^2(-1{)}^2{p}_2{\lambda }^{n-2}+...+(-1{)}^{n-1}(-1{)}^{n-1}{p}_{n-1}\lambda +a_n\\ & ={\lambda }^n+p_1{\lambda }^{n-1}+p_2{\lambda }^{n-2}+...+p_{n-1}\lambda +p_n\end{array}$$其中，$a_k$为$-A$的全部$k$阶主子式之和的$(-1{)}^k$倍。

方法1

• 定义：设$A\in C^{n\times n}$，固定$-A$的某$k$列元素不动，其他列上对角线位置元素填$\lambda$，非对角线位置元素填$0$，这样得到的矩阵的行列式称为$A$的一个$n-k$列正规代换式。
  例：图中是$A$的一个$2$列正规代换式，其中$-A$的第2列和第$n$列被代换了，而其他列均不变。
  
  接下来我们通过行列式暴力展开的方式（差不多就是暴力展开吧）来证明定理：
  首先，为了方便，我们将$A$的全部$k$阶主子式按照任意指定的一种顺序排列。设$A$的$k$阶主子式有$N(k)$个，显然$N(k)=C_n^k$，将它们记为$M(k,1),M(k,2),...,M(k,N(k))$。接下来，我们将$A$的$n-k$列正规代换式与$A$的$k$阶主子式对应起来，对应方式为：设$A$的某$n-k$列正规代换式是将$-A$的第$i_1<i_2<...<i_k$列保持不变，而将其余列进行代换得到的，那么该正规代换式对应的主子式为$$A\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_k\\ i_1& i_2& \cdots & i_k\end{array}\right)$$即取$A$的第$i_1<i_2<...<i_k$行和相应列的交叉位置上的元素构成的行列式。显然该对应关系是一一对应。于是，针对$A$的$k$阶主子式的一个排列$M(k,1),M(k,2),...,M(k,N(k))$，我们根据上述的对应关系，可以得到$A$的$n-k$列正规代换式的一个排列，记为$A(n-k,1),A(n-k,2),...,A(n-k,N(k))$。并且，如果我们将正规代换式按照被代换的列进行展开，就能得到如下关系：$$A(n-k,i)=(-1{)}^k{\lambda }^{n-k}M(k,i),i=1,2,...,N(k)$$例如，对于上面举的$2$列正规代换式的例子，先按照第2列展开，再按照最后一列展开，即可发现其与相对应的主子式之间的关系。
  接下来，利用行列式的性质对特征多项式进行暴力展开：$$\begin{array}{rl}det(\lambda I-A)& =\left|\begin{array}{cccc}\lambda -a_{11}& 0-a_{12}& \cdots & 0-a_{1n}\\ 0-a_{21}& \lambda -a_{22}& \cdots & 0-a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0-a_{n1}& 0-a_{n2}& \cdots & \lambda -a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$上述行列式的每个元素都是两个元素相减的形式，利用行列式的加法性质，将该行列式的每一列展开，最终将得到$2^n$个行列式（$det(\lambda I-A)$有n列，每展开一列，行列式的总数就翻倍）。注意，这$2^n$个行列式均具备如下特征：任取其中一列，例如第$i$列，则只有两种可能，即取出来的要么是$-A$的第$i$列，要么满足第$i$个元素为$\lambda$，而该列的其他元素均为零。例如下述行列式就在这$2^n$个行列式中：$$\left|\begin{array}{ccccc}-a_{11}& 0& \cdots & -a_{1,n-1}& 0\\ -a_{21}& \lambda & \cdots & -a_{2,n-1}& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ -a_{n1}& 0& \cdots & -a_{n,n-1}& \lambda \end{array}\right|$$这不就是$A$的正规代换式吗？举个$n=3$的例子：$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a_{11}& 0-a_{12}& 0-a_{13}\\ 0-a_{21}& \lambda -a_{22}& 0-a_{23}\\ 0-a_{31}& 0-a_{32}& \lambda -a_{33}\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0-a_{12}& 0-a_{13}\\ 0& \lambda -a_{22}& 0-a_{23}\\ 0& 0-a_{32}& \lambda -a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}-a_{11}& 0-a_{12}& 0-a_{13}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}& 0-a_{23}\\ -a_{31}& 0-a_{32}& \lambda -a_{33}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0-a_{13}\\ 0& \lambda & 0-a_{23}\\ 0& 0& \lambda -a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -a_{12}& 0-a_{13}\\ 0& -a_{22}& 0-a_{23}\\ 0& -a_{32}& \lambda -a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}-a_{11}& 0& 0-a_{13}\\ -a_{21}& \lambda & 0-a_{23}\\ -a_{31}& 0& \lambda -a_{33}\end{array}\right|\\ & +\left|\begin{array}{ccc}-a_{11}& -a_{12}& 0-a_{13}\\ -a_{21}& -a_{22}& 0-a_{23}\\ -a_{31}& -a_{32}& \lambda -a_{33}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& -a_{13}\\ 0& \lambda & -a_{23}\\ 0& 0& -a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -a_{12}& 0\\ 0& -a_{22}& 0\\ 0& -a_{32}& \lambda \end{array}\right|\\ & +\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -a_{12}& -a_{13}\\ 0& -a_{22}& -a_{23}\\ 0& -a_{32}& -a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}-a_{11}& 0& 0\\ -a_{21}& \lambda & 0\\ -a_{31}& 0& \lambda \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}-a_{11}& 0& -a_{13}\\ -a_{21}& \lambda & -a_{23}\\ -a_{31}& 0& -a_{33}\end{array}\right|\\ & +\left|\begin{array}{ccc}-a_{11}& -a_{12}& 0\\ -a_{21}& -a_{22}& 0\\ -a_{31}& -a_{32}& \lambda \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}-a_{11}& -a_{12}& -a_{13}\\ -a_{21}& -a_{22}& -a_{23}\\ -a_{31}& -a_{32}& -a_{33}\end{array}\right|\end{array}$$
  可见，我们可以通过行列式的加法性质，将特征多项式展开成$A$的全部正规代换式之和。于是有$$\begin{array}{rl}det(\lambda I-A)& =A(n,1)+A(n-1,1)+A(n-1,2)+..+A(n-1,n)\\ & +A(n-2,1)+A(n-2,2)+...+A(n-2,N(2))\\ & +...+A(1,1)+A(1,2)+...+A(1,n)+A(0,1)\\ & ={\lambda }^n+(-1{)}^1(M(1,1)+M(1,2)+..+M(1,n)){\lambda }^{n-1}\\ & +(-1{)}^2(M(2,1)+M(2,2)+...+M(2,N(2))){\lambda }^{n-2}\\ & +...+(-1{)}^{n-1}(M(n-1,1)+M(n-1,2)+...+M(n-1,n))\lambda +(-1{)}^{n}det(A)\end{array}$$这就证明了${\lambda }^{n-k}$的系数为$(-1{)}^k{p}_k$，其中$p_k={\sum }_{i=1}^{N(k)}M(k,i)$为$A$的全部$k$阶主子式之和。

方法2

方法2是利用复合阵（compound matrix）的性质去证明的，但由于复合阵的性质本身具有一定的复杂性，所以有点大材小用的感觉。。。感兴趣的同学可以参考下面的参考文献2，以及维基百科。

参考文献：
1、王莉.n阶矩阵的特征多项式的一般项系数[J].鞍山师范学院学报,1988(04):4-6.
（链接：http://xueshu.baidu.com/usercenter/paper/show?paperid=045718b9e25184a576eb98aa8c8e44ca&site=xueshu_se）
2、李巍,胡方景.关于矩阵的特征多项式的展开式[J].青海师专学报,2001(06):8-10.
（链接：https://www.ixueshu.com/document/87cdb46781e796a8318947a18e7f9386.html）