多面体及欧拉公式及广义欧拉公式

像正方体，四棱锥这样的平面多面体属于简单多面体，它们可以与球拓扑同构，即可以连续拓扑变换成一个球。它们满足欧拉公式：v - e + f = 2, 其中v是顶点（vertex）数，e是边（edge）数，f是面（face）数。

而对于非简单多面体，指那些在多面体的表面上有环，和洞的多面体。它们满足广义欧拉公式：v - e + f - r = 2(s - h), 其中r是环（ring）数，h是洞（hole）数，s是相互分离的多面体（shell）数。如何理解，r，h，s呢？简单的说，r是在一个面上的内环，而h是贯穿多面体的孔洞，在只有一个实体即s=1时，r=2h，产生一个洞就产生两个环；s通常为1，没有环也没有洞时广义欧拉公式就退化为欧拉公式。s如果为多个，就相当于各算各的顶点，边，面，环，洞的数量然后相加，同样满足广义欧拉公式。下图是s为2的例子，右边的图示左边这个多面体的切开的图，可以看出这个多面体有一个贯穿的长方体孔洞，和一个内嵌的立方体，该内嵌的立方体对s的贡献为1，所以s为2。