LCT 基本概念 模板 及其应用

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LCT的前置技能：

你需要一棵完美的Splay来写LCT
Or 一棵Finger Search Tree也可以
Or Treap写Finger Search
还有就是你的常数需要小一点

LCT的常数的确不想吐槽了

LCT的用途：

在线link & cut（即连接边与删除
查询连通性
维护链上信息
换根
维护子树信息(某些情况)

LCT的6种基本操作：

总汇：

我们对于原树建立一棵辅助树，用Splay森林维护
辅助树中有轻重儿子，每个点至多有一个重儿子
辅助树的边分轻重，相邻的重边在同一棵Splay中
边的轻重是根据需要改变的，重边是当前使用的
操作一共有6种 :
Access
Makeroot & Findroot
Split
Link & Cut

所需数组变量：

ch[N][2] (children)
f[N] (father)
rev[N] (reverse tag)
以上为必须.
key[N] (key value)
sum[N] (sum of chain)

如何改造我们的Splay：

由于f[x]是代表的虚边
所以我们判断该点是否为根时要换一种

inline bool nroot(int x){return ch[f[x]][0]==x || ch[f[x]][1]==x;}
而且我们还有一个pushdown (reverse之后说作用)
inline void pushdown(int x){
        if(rev[x]){
            if(ch[x][0])reverse(ch[x][0]);
            if(ch[x][1])reverse(ch[x][1]);
            rev[x]=0;
        }
    }

所以我们每次Splay前都要pd :

inline void pd(int x){if(nroot(x))pd(f[x]);pushdown(x);}
Splay这样写 : 
inline void Splay(int x){
        pd(x);
        for(int fa=f[x];nroot(x);rotate(x),fa=f[x])
            if(nroot(fa))
                rotate(get(fa)==get(x)?fa:x);
    }

Access (一切的基础)：

接下来请心里有棵Splay
Access的目的是将x到根的边都变重
我们对于一棵较简单的树考虑，如右图
我们access(4) [虚线为虚边]
图1 : 我们将2的重边换到了左边
图2 : 我们将1的重边换到了左边
我们成功地将4到根的边都变重了
具体实现就是这样一行：
void access(int x){for(int y=0;x;x=f[y=x])Splay(x),ch[x][1]=y,update(x);}
update表示更新信息，谨记Access的含义

Makeroot：

我们引入一个新操作—-reverse(x)
inline void reverse(int x){rev[x]^=1;swap(ch[x][0],ch[x][1]);}
也就是翻转x的子树
inline void makeroot(int x){access(x);Splay(x);reverse(x);}
我们access之后，再Splay一下，发现整棵树刚好和换根之后的相反
那么我们reverse一下，就正好了qwq
辅助树换根了，那么就相当于原树换根了

Findroot：

在这里说一个性质：
Splay维护的链是按照深度从小到大排序的(中序遍历下)
那么我们这么实现就好了：
inline int findroot(int x){access(x);Splay(x);while(ch[x][0])x=ch[x][0];return x;}
这样我们就找到了和x相连的深度最大的点，也就是根

Split：

这个操作的目的是分离(x,y)这条链
实现非常容易：
inline void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);Splay(y);}
原理大家应该也能看懂了，我不多做阐述

Link & Cut：

大概这个也很简单了吧qwq
inline void link(int x,int y){split(x,y);f[x]=y;}
向上连虚边
inline void cut(int x,int y){split(x,y);f[x]=ch[y][1]=0;}
两边同时切断

题目选讲：

[HNOI2010]弹飞绵羊
[NOI2014]魔法森林
分别代表了LCT的两个主要用途

[HNOI2010]弹飞绵羊：

我的题解
首先这题分块做法广为人知，我不多说
这题就是个LCT模板题
每个点i向i+ki连边，维护链的大小
其实这东西也不是棵树，但是可以用LCT维护
然后修改的时候先cut再link就好了
O(nlogn)
建议用这个题来把LCT打熟了
建议练到10min打完

[NOI2014]魔法森林：

我的题解
无向图，每条边有两个权值，求maxA+maxB的最小值(沿途经过的)
首先广为人知的动态加边spfa我就不说了
这题我们可以按照Ai排序，依次加入每条边，动态维护最小生成树
动态MST可以用LCT来实现
我们用LCT维护链上的最大值，对于新边，能连就直接连(无环)
对于一条连上之后会产生环的边，我们将它与连上最大值比较
如果加上更优，那么就cut掉最大边，加入这条边
然后每次加入边之后更新答案
O(nlogn)

Link-Cut Tree 高级技巧

维护子树信息

假如我们要统计子树所有节点的权值和S
我们就再开一个Si表示所有虚边相连的子树的权值和
然后在access,link,cut的时候改一改Si就好了
这样做的前提是统计的信息支持加法和减法
我们接下来看一道例题吧

[BJOI2014]大融合

我的题解
需要统计子树大小，还支持加边
普通LCT肯定不行
但是我们学过统计子树信息了，这个题刚好适用
O(nlogn)

模板：

本模板来着洛谷模板题目，可能跟上面所写有出入，请见谅

#include 
#include 
#define il inline
const int maxm=1e7+100;
int n,m,val[maxm];
namespace LCT{
    int top,son[maxm][2],fa[maxm],xr[maxm],stk[maxm],rev[maxm];
    il void pushup(int x){xr[x]=xr[son[x][1]]^xr[son[x][0]]^val[x];}
    il void pushdown(int x)
    {
        if(rev[x])
        {
            rev[son[x][1]]^=1,rev[son[x][0]]^=1,rev[x]=0;
            std::swap(son[x][1],son[x][0]);
        }
    }
    il bool isroot(int x){return (son[fa[x]][1]!=x&&son[fa[x]][0]!=x);}
    void rotate(int x)
    {
        int fa1=fa[x],fa2=fa[fa1],l;
        if(son[fa1][0]==x) l=0;
        else l=1;
        int r=l^1;
        if(!isroot(fa1))
        {
         if(son[fa2][0]==fa1) son[fa2][0]=x;
         else son[fa2][1]=x;
        }
        fa[x]=fa2;fa[fa1]=x;fa[son[x][r]]=fa1;
        son[fa1][l]=son[x][r];son[x][r]=fa1;
        pushup(fa1);pushup(x);
    }
    void splay(int x)
    {
        top=1;stk[top]=x;
        for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) stk[++top]=fa[i];
        for(int i=top;i;i--) pushdown(stk[i]);
        while(!isroot(x))
        {
            int y=fa[x],z=fa[y];
            if(!isroot(y))
            {
                if((son[y][0]==x)^(son[z][0]==y)) rotate(x);
                else rotate(y);
            }
            rotate(x);
        }
    }
    il void access(int x){for(int t=0;x;t=x,x=fa[x]) splay(x),son[x][1]=t,pushup(x);}//打通重路径 
    il void makeroot(int x){access(x),splay(x),rev[x]^=1;}//变为此Slpay的root 
    il int findroot(int x){access(x),splay(x);while(son[x][0])x=son[x][0];return x;}//寻找x所在树的根 
    void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);}
    void cut(int x,int y){split(x,y);if(son[y][0]==x) son[y][0]=0,fa[x]=0;}
    void link(int x,int y){makeroot(x);fa[x]=y;}
};
int main()
{
    //freopen("l.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]),LCT::xr[i]=val[i];
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int opt,x,y;
        scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);
        //printf("%d %d %d %d\n",opt,x,y,i);
        if(opt==0)
        {
            LCT::split(x,y);
            printf("%d\n",LCT::xr[y]);
        }
        if(opt==1)
         LCT::link(x,y);
        if(opt==2)
         LCT::cut(x,y);
        if(opt==3)
         LCT::access(x),LCT::splay(x),val[x]=y,LCT::pushup(x);
    }
    return 0;
}