特征多项式及Cayley-Hamilton定理

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上面的都没有证明
学数学的时候，可能会接触到一个叫做特征根法，特征根方程的东西，当时不觉明历。
实际上这是和线性代数中的特征多项式离不开的。
学OI的时候，可能会接触到矩阵快速幂求解常系数齐次线性递推的东西，懂了但是只会当模板用。
实际上这也和特征多项式有着紧密的联系。
言归正传。
特征多项式是指对一个$n$阶（转移）方阵$A$ , $f(\lambda )=\det (\lambda I-A)={\lambda }^N+b_1{\lambda }^{N-1}+b_2{\lambda }^{N-2}+...+b_{N-1}\lambda +b_N$是一个以$\lambda$为自变量的$n$次多项式。
Cayley-Hamilton定理指的是$f(A)=0=A^N+b_1{A}^{N-1}+b_2{A}^{N-2}+...+b_{N-1}A+b_N$为化零多项式。为了方便记忆有一个著名的伪证:$f_A(A)=\mid A-AI\mid =0$

初中证法：
$$(\lambda I-A{)}^{-1}=\frac{adj(\lambda I-A)}{|\lambda I-A|}(adj为伴随矩阵)$$
（$|\lambda I-A|$一定非零因为${\lambda }^{|A|}$前的系数一定是$1$。）
两边同时右乘$(\lambda I-A)|\lambda I-|A||$，令$B=adj(\lambda I-A),f(\lambda )=|\lambda I-A|$
那么
$$f(\lambda )I=B(\lambda I-A)=\lambda B-BA$$
$$f(\lambda )I=\sum _{i=0}^{|A|}{a}_i{\lambda }^{i}I$$
因为$B$是伴随矩阵，其中的$\lambda$次数最高为$|A|-1$，我们把$B$按照$\lambda$次数分为$B_0...B_{|A|-1}$。
$$B=\sum _{i=0}^{|A|-1}{B}_i{\lambda }^i$$
（也就是说$B_i$里面是${\lambda }^i$的系数而不包含$\lambda$）
$$\begin{gathered} \lambda B-BA=\sum _{i=0}^{|A|-1}{B}_i{\lambda }^{i+1}-B_{i}A{\lambda }^i \\ =B_{|A|-1}{\lambda }^{|A|}-B_{0}A+\sum _{i=1}^{|A|-1}(B_{i-1}-B_{i}A){\lambda }^i \end{gathered}$$
将这个式子和$f(\lambda )I$按次数比对相等得到$|A|+1$个等式：
$$\begin{array}{rl}& B_{|A|-1}=a_{|A|}I\\ & B_{i-1}-B_{i}A=a_{i}I\\ & -B_{0}A=a_{0}I\end{array}$$
在第$i$个式子的左右同乘$A^{|A|-i+1}$
（$a_{|A|}=1$）
$$\begin{array}{rl}& B_{|A|-1}{A}^{|A|}=a_{|A|}{A}^{|A|}\\ & B_{i-1}{A}^{|A|-1}-B_i{A}^{|A|}=a_i{A}^{|A|-1}\\ & -B_{0}A=a_{0}I\end{array}$$
全部加起来，相邻的式子会抵消一项：
$0={\sum }_{i=0}^{|A|}{a}_i{A}^i$
$f(A)=0$得证。

对于常系数线性递推
有$A^n={\sum }_{i=1}^{n-1}{a}_i{A}^{n-i}$
我们把$A$看做变量，上面的就是方程。
我们可以把$A^n$换成比n次幂小的一个多项式。
就相当于$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}g(A)=(A^n-{\sum }_{i=1}^{n-1}{a}_i{A}^{n-i})$
有了模之后我们就可以把$A^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}g(A)$拿出来算就行了。
得到$A^x={\sum }_{i=0}^n{c}_i{A}^i$
然后就可以$O(n^4)$算矩阵了。
把前$n$项构成的行向量$H_1$同时左乘于等式左右，可以得到：
$H_{x+1}={\sum }_{i=0}^n{c}_i{H}_{i+1}$
现在是$O(n^2)$
所以有:
$h_{x+1}={\sum }_{i=0}^n{c}_i{h}_{i+1}$
就可以$O(n)$了
但是不要忘了多项式模取幂是$O(n^2\log x)$的暴力，$O(n\log n\log x)$的多项式FFT取模。
为了算一个矩阵的特征多项式，可以$O(n^3)$,也可以$O(n^4)$求值后用BM。。。