GM(1,1)灰色预测及相关检验指标的MATLAB实现

本篇文章的代码实现了以下三大方面的功能：

• 一、计算级比和光滑比并做级比检验；
• 二、序列的灰色预测；
• 三、精度检验，主要做了以下内容：
• ①相对残差Q检验（MAPE）；
• ②关联度检验；
• ③方差比C检验；
• ④小误差概率P检验

1 灰色预测模型

本部分内容参照了王佳佳的硕士学位论文《京津冀地区高速铁路对区域经济影响研究》，我觉得这篇论文讲灰色预测讲得蛮详细的，如果想学灰色预测的可以看看。

2 MATLAB实现

理论讲了一大堆，但实际实现起来却很容易，见代码：

function [G, params] = GM(A)
% G为预测数据，Q为相对残差Q检验，C为方差比C检验
% p为小误差概率p检验

%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
% syms a b;
% c = [a u]';
n = length(A);
%% 级比检验
% 对原始数列 A 做累加得到数列 B
B = cumsum(A);

% 计算级比和光滑比
sig = zeros(1,n);
rho = zeros(1,n);
for i = 2:n
    sig(i) = B(i)/B(i-1);
    rho(i) = A(i)/B(i-1);
end

if sum(sig(4:end) >=2 ) == 0 && sum(rho(5:end) >= 0.5) == 0
    disp('数据满足光滑条件和指数规律')
else
    disp('数据不满足光滑条件和指数规律')
end

%% 数据预测
% 对数列 B 做紧邻均值生成
C = zeros(n,1);
for i = 2:n
    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;  
end
C(1) = [];

% 构造数据矩阵 
B = [-C,ones(n-1,1)];
Y = A; Y(1) = []; 

% 使用最小二乘法计算参数 a(发展灰数)和b(内控制灰数)
c = inv(B'*B)*B'*Y;
a = c(1);
u = c(2);

% 预测后续数据
F(1) = A(1);
for i = 2:n+2    % 预测两年的数据
    F(i) = (A(1)-u/a)/exp(a*(i-1))+ u/a;
end

% 对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
G(1) = A(1);
for i = 2:n+2  
    G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
end
G = G';

%% 精度检验
H = G(1:n);
% 计算残差序列
epsilon = A - H;

% 法一：相对残差Q检验（MAPE）
% 计算相对残差
delta = abs(epsilon./A);
% 计算相对误差平均值Q
Q = mean(delta);
% 计算所对应的的绝对误差百分比
MAPE = abs(sum(epsilon./A)/(n-1))*100;

% 法二：关联度检验
r = sum((min(min(abs(epsilon)))+0.5*max(max(abs(epsilon))))./(abs(epsilon)+0.5*max(max(abs(epsilon)))))/n;

% 法三：方差比C检验
C = std(epsilon, 1)/std(A, 1);

% 法四：小误差概率P检验
S1 = std(A, 1);
tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
P = length(tmp)/n;

params = [a,u,r,C,P,MAPE];
end