上一章讲到多元函数的微分及其应用,这一章是关于多重积分里的二重积分,虽然只是限定在了平面范围内,但是非常非常重要。
现有一积分区域 R R R和某函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),将该区域切割成 n n n块小面积,其中第 i i i块的面积为 Δ A i \Delta A_i ΔAi,并且在该区域内选择一个点 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi),那么有限项和
∑ i n f ( x i , y i ) Δ A i \sum_i^n f(x_i,y_i)\Delta A_i ∑inf(xi,yi)ΔAi在面积元接近无穷小时的极限被定义为二重积分(参考下图),即:
∬ R f ( x , y ) d A = lim Δ A i → 0 ∑ i n f ( x i , y i ) Δ A i \iint_Rf(x,y)dA=\lim_{\Delta A_i\to 0}\sum_i^n f(x_i,y_i)\Delta A_i ∬Rf(x,y)dA=ΔAi→0limi∑nf(xi,yi)ΔAi
可以发现,如果函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是某一物体的高度函数,二重积分可以用来求该物体的体积;当 f ( x , y ) = 1 f(x,y)=1 f(x,y)=1时,二重积分 ∬ R d A \iint_R dA ∬RdA 求的是积分区域的面积。(常见的二重积分应用会在3.4节中提到)
在多重积分当中,最重要的就是明确积分的上下限,通常情况下需要先画出所求区域的草图。
一般步骤
举例如下图:求曲线 x + y = 1 x+y=1 x+y=1与 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1在第一象限所围成的面积,可以看出,例子中选择的是先固定变量 x x x。
在单变量微积分中我们已经学过了极坐标和直角坐标系的转换,即 x = r cos θ , y = r sin θ x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta x=rcosθ, y=rsinθ。当所求积分区域为圆或圆的衍生图形的时候常用极坐标。
微元表达式
如下图,将二维区域 R R R按极坐标的模式切割成不同小块,每一个小块的面积表达式为 Δ A = r Δ θ ⋅ Δ r \Delta A=r_\Delta\theta\cdot \Delta r ΔA=rΔθ⋅Δr,转化成微元形式就是 d A = r d r d θ dA=rdrd\theta dA=rdrdθ,可以看出,极坐标下的面积元与矩形面积公式相似,因为在面积无穷小的时候弧长会近似成直线。
二重积分表达式
极坐标下的二重积分形式为:
∬ R f ( r , θ ) r d r d θ = lim Δ A i → 0 ∑ i n f ( r i , θ i ) Δ A i \iint_Rf(r,\theta)rdrd\theta=\lim_{\Delta A_i\to 0}\sum_i^n f(r_i,\theta_i)\Delta A_i ∬Rf(r,θ)rdrdθ=ΔAi→0limi∑nf(ri,θi)ΔAi
与直角坐标系中选择积分上下限类似,一般在极坐标中先固定角度 θ \theta θ。
一般步骤:
根据所选积分区域的形状选择不同的坐标系会有不同的效果,起到简化计算的作用。首先是最常见的直角坐标与极坐标的转化。
∬ R f ( x , y ) d y d x = ∬ R f ( r , θ ) r d r d θ \iint_R f(x,y)dydx=\iint_Rf(r,\theta)rdrd\theta ∬Rf(x,y)dydx=∬Rf(r,θ)rdrdθ
其中各个变量的对应关系是 x = r cos θ , y = r sin θ , r = x 2 + y 2 , θ = t a n − 1 y x x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ r=\sqrt{x^2+y^2},\ \theta=tan^{-1}\frac{y}{x} x=rcosθ, y=rsinθ, r=x2+y2, θ=tan−1xy
Jacobian行列式是变量变换的一般形式,这一节只有表达形式,我觉得这个行列式非常美妙,所以具体的证明过程等我之后再补上!本节只考虑Jacobian的二维形式,其定义式为:
∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∣ x u x v y u y v ∣ \frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix} ∂(u,v)∂(x,y)=∣∣∣∣xuyuxvyv∣∣∣∣
一般化的变量转化为:
d A = ∣ ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ∣ d u d v dA=\big|\frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)}\big|dudv dA=∣∣∂(u,v)∂(x,y)∣∣dudv
直角坐标到极坐标的转化也可以通过Jacobian计算出来。
在标量函数中,二重积分有许多应用:在不考虑厚度的情况下,已知密度求物体的质量;;求物体质心的位置;求物体的转动惯量。
已知物体的密度 δ ( x , y ) \delta(x,y) δ(x,y)在某一区域 R R R 内是连续的,则质量为:
Mass = ∬ R δ ( x , y ) d y d x \text{Mass}=\iint_R\delta(x,y)dydx Mass=∬Rδ(x,y)dydx
在单变量微积分中,积分的一个应用是求均值和加权平均值。同样地,二重积分也可以用来求均值,一般表达式为:
Average = 1 area R ∬ R f ( x , y ) d A \text{Average}=\frac{1}{\text{area} \ R}\iint_Rf(x,y)dA Average=area R1∬Rf(x,y)dA
当 f ( x , y ) = x f(x,y)=x f(x,y)=x或 f ( x , y ) = y f(x,y)=y f(x,y)=y时就是求一个物体的质心位置。假设密度依然为 δ ( x , y ) \delta(x,y) δ(x,y),则质心(Center of Mass)表达式为:
x c m = ∬ R x δ ( x , y ) d A x_{cm}=\iint_Rx\delta(x,y)dA xcm=∬Rxδ(x,y)dA y c m = ∬ R y δ ( x , y ) d A y_{cm}=\iint_Ry\delta(x,y)dA ycm=∬Ryδ(x,y)dA
转动惯量相当于旋转刚体的质量(写到这突然觉得今晚上得复习一下经典力学中的旋转刚体了,力矩等概念已经记不得了),对于对称的物体而言, I = m d 2 I=md^2 I=md2。 m m m是物体的质量(不规则的物体需要用积分的方法求解), d d d是物体到转轴的距离。如果密度为 δ ( x , y ) \delta(x,y) δ(x,y)的物体绕 y y y轴旋转,其转动惯量就可以写成:
I = ∬ x 2 δ ( x , y ) d A I=\iint x^2\delta(x,y)dA I=∬x2δ(x,y)dA
在笔记第二章最后中已经介绍了什么是矢量场和标量场,由于这一章关注的是二维平面,所以矢量场就特指平面向量场,其表达式为 F ( x , y ) = M ( x , y ) i + N ( x , y ) j \bold F(x,y)=M(x,y)\bold i+N(x,y) \bold j F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j如果函数 M , N M,\ N M, N是可微的,则向量场可微。
如果某一个二维标量函数 w = f ( x , y ) w=f(x,y) w=f(x,y)是连续可导的, 则它的梯度场可以表示为 ∇ w = ∂ w ∂ x i + ∂ w ∂ y j \nabla w=\frac{\partial w}{\partial x}\bold i+\frac{\partial w}{\partial y}\bold j ∇w=∂x∂wi+∂y∂wj
(请牢记梯度的性质,梯度垂直于等值面的切线)
如果一个向量场是某个势函数的梯度,则这个向量场就被称为梯度场。梯度场是保守场,即做功与路径无关。(常见的梯度场有电场,重力场等)做工只与起始和终止点有关。下文也会详细阐述关于保守场的几个等价命题
矢量场广泛应用于物理学中,描述力场,比如静电力场,重力场;或者是描述流体,比如不可压缩的水流和可压缩的气体的流速(单位时间内经过的量等)。
当平面内有一力场时,线积分表达的物理意义就是力做功的多少。
在物理学中,功是计算力在位移上的分量和位移的乘积而得到的,也就是力和位移的点乘。
平面内有一矢量场(一般是与力有关) F = M i + N j = < M , N > \bold F=M\bold i+N\bold j=<M,N> F=Mi+Nj=<M,N>(省略掉自变量以保证公式的简洁),平面内还有一曲线 C : r ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j = < x ( t ) , y ( t ) > C:\bold r(t)=x(t)\bold i+y(t)\bold j=<x(t),y(t)> C:r(t)=x(t)i+y(t)j=<x(t),y(t)>,其微分形式 d r = < d x , d y > d\bold r=<dx,dy> dr=<dx,dy>,由此可以推出线积分的表达形式及其分量表达形式:
∫ C F ⋅ d r = ∫ C < M , N > ⋅ < d x , d y > = ∫ C M d x + N d y \int_C\bold F\cdot d\bold r=\int_C<M,N>\cdot <dx,dy>=\int_CMdx+Ndy ∫CF⋅dr=∫C<M,N>⋅<dx,dy>=∫CMdx+Ndy
前文中提到了梯度场和势函数的关系,这一节将进一步阐明梯度场的性质及如何通过梯度场反推势函数。
如果一个向量场满足 F = ∇ f = < f x , f y > \bold F=\nabla f=<f_x,f_y> F=∇f=<fx,fy>或者是 F = − ∇ f \bold F=-\nabla f F=−∇f,那么它就被称为梯度场。注意,物理中一般加负号(比如电场与电势的关系 E = − ∇ V \bold E=-\nabla V E=−∇V),数学中一般不加。
∫ C ∇ f ⋅ d r = f ( P 1 ) − f ( P 0 ) \int_C\nabla f\cdot d\bold r=f(P_1)-f(P_0) ∫C∇f⋅dr=f(P1)−f(P0)
其中 P 1 , P 0 P_1,\ P_0 P1, P0代表一段曲线的终止点和起始点。对该基本定理的简单解释如下:
∫ C ∇ f ⋅ d r = ∫ C f x d x + f y d y = ∫ C d f = f ( P 1 ) − f ( P 0 ) \int_C\nabla f\cdot d\bold r=\int_Cf_xdx+f_ydy=\int_Cdf=f(P_1)-f(P_0) ∫C∇f⋅dr=∫Cfxdx+fydy=∫Cdf=f(P1)−f(P0)
上式中的 d f = f x d x + f y d y df= f_xdx+f_ydy df=fxdx+fydy就是势函数 f f f的恰微分形式(Exact Differentials)
现有一梯度场 F = ∇ f = < M , N > \bold F=\nabla f=<M,N> F=∇f=<M,N>,
梯度场的线积分与路径无关(Path Independence)
∫ C 1 F ⋅ d r = ∫ C 2 F ⋅ d r \int_{C_1}\bold F\cdot d\bold r=\int_{C_2}\bold F\cdot d\bold r ∫C1F⋅dr=∫C2F⋅dr
下图给出了本条性质的图形解释:
梯度场是保守场(Conservative Field):
如果平面内的曲线 C C C是闭合曲线,那么 F F F的线积分为0。
∮ C F ⋅ d r = 0 \oint_C\bold F\cdot d\bold r=0 ∮CF⋅dr=0
M d x + N d y Mdx+Ndy Mdx+Ndy是势函数 f f f的恰微分形式
d f = M d x + N d y , where M = f x , N = f y df=Mdx+Ndy,\ \text{where}\ M=f_x,\ N=f_y df=Mdx+Ndy, where M=fx, N=fy
如果向量场 F = M i + N j = < M , N > \bold F=M\bold i+N\bold j=<M,N> F=Mi+Nj=<M,N>满足 M y = N x M_y=N_x My=Nx,则该向量场为梯度场。
简单证明:
假设 F = ∇ f = < f x , f y > = < M , N > \bold F =\nabla f=<f_x,f_y>=<M,N> F=∇f=<fx,fy>=<M,N>,则 f x y = f y x = M y = N x f_{xy}=f_{yx}=M_y=N_x fxy=fyx=My=Nx,反之也成立。
上文详细介绍了梯度场的性质和检验方法,那么已知梯度场如何反向求解势函数呢?
方法1
该方法通过拆解线积分的路径来计算线积分的值。因为梯度场是路径无关的,即线积分等于终止点的值减去起始点的值,所以将线积分的路径拆解成几段好算的路径是可行的,比如将其分解成只沿 x x x轴和 y y y轴的路径。(该方法并不常用)
方法二
常用的方法是利用反导数求解势函数。用一道例题来解释该方法的细节。
已知一梯度场为 F = < f x , f y > = < 4 x 2 + 8 x y , 3 y 2 + 4 x 2 > \bold F=<f_x,f_y>=<4x^2+8xy,3y^2+4x^2> F=<fx,fy>=<4x2+8xy,3y2+4x2>。
步骤:
尽管矢量场中的功是通过一维积分定义的,但这并不影响其从一维到二维积分的转化。该转化过程需要定义新的量,即旋度(Curl)。功是对向量场与曲线的切线方向积分得到的,如果要让向量场与曲线的法向做积分,就得到了二维通量,转化成二维积分的时候就需要定义新的量——散度(Divergence)
因为向量场 F \bold F F只是在平面上的,所以其对应的旋度也是二维的。二维平面中旋度的定义为:
Curl F = N x − M y \text{Curl}\bold F=N_x-M_y CurlF=Nx−My
要注意在二维平面中,旋度是一个标量,但在三维空间中,旋度是一个矢量,二维旋度只是三维旋度下沿 z z z轴的分量。
其实功的一维积分表达式还可以写成(平面向量场是 F = M i + N j \bold F=M\bold i+N\bold j F=Mi+Nj) ∫ C F ⋅ d r = ∫ C F ⋅ T d s \int_C \bold F\cdot d\bold r=\int_C \bold F\cdot \bold Tds ∫CF⋅dr=∫CF⋅Tds
其中 T = v ∣ v ∣ \bold T=\frac{\bold v}{|\bold v|} T=∣v∣v是描述曲线切线方向的单位向量, d r = T d s = v d t d\bold r=\bold Tds=\bold v dt dr=Tds=vdt。
如果我们关注的是向量场在曲线法向的分量,我们就可以在功的表达式的基础上定义改进,即 ∫ C F ⋅ n d s \int_C \bold F\cdot \bold nds ∫CF⋅nds接下来只要知道如何表达法向量 n \bold n n就可以了。我们以参数 s s s来参数化路径向量 r \bold r r,也就是 r ( s ) = x ( t ) i + y ( t ) j \bold r(s)=x(t)\bold i+y(t)\bold j r(s)=x(t)i+y(t)j,切向向量微元 T d s = v d t = < d x , d y > \bold Tds=\bold vdt=<dx,dy> Tds=vdt=<dx,dy>,又已知 n d s \bold nds nds垂直于 T d s \bold Tds Tds,在二维平面中我们通常将切向向量向右旋转 90 ° 90\degree 90°得到曲线的法向量(也就是默认曲线是逆时针方向的),所以 n d s = < d y , − d x > \bold nds=<dy,-dx> nds=<dy,−dx>以保证 ( n d s ) ⋅ ( T d s ) = 0 (\bold nds)\cdot(\bold Tds)=0 (nds)⋅(Tds)=0。新的表达式即二维通量的表达式为:
∫ C F ⋅ n d s = ∫ C < M , N > ⋅ < d y , − d x > = ∫ C M d y − N d x \int_C \bold F\cdot \bold nds=\int_C <M,N>\cdot<dy,-dx>=\int_C Mdy-Ndx ∫CF⋅nds=∫C<M,N>⋅<dy,−dx>=∫CMdy−Ndx
假设有一向量场 F = < M , N > \bold F=<M,N> F=<M,N>,它的散度就表示为:
div F = M x + N y = ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y \text{div}\bold F=M_x+N_y=\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y} divF=Mx+Ny=∂x∂M+∂y∂N
给定以向量场 F = < M , N > \bold F=<M,N> F=<M,N>,它在某一闭合曲线 C C C上(包围的面积为 R R R)的线积分为:
∮ C F ⋅ d r = ∮ C M d x + N d y = ∬ R Curl F d A = ∬ R ( N x − M y ) d A \oint_C \bold F \cdot d\bold r=\oint_CMdx+Ndy=\iint_R\text{Curl}\bold FdA=\iint_R(N_x-M_y)dA ∮CF⋅dr=∮CMdx+Ndy=∬RCurlFdA=∬R(Nx−My)dA
其中 N x − M y N_x-M_y Nx−My为向量场的二维旋度。下一章的笔记中会给出三维旋度的统一表达式。一些闭合曲线的示意图如下图:
注意闭合曲线的方向一定要满足右手定则(简单来说曲线应该是逆时针转动的)
证明格林定理的思路是:
在流体速度场中,旋度度量的是旋转体的角速度(气体或液体);而在力场中,旋度与旋转物体所受到的力矩(力乘以力臂)有关。
与格林定理一样,格林定理法相形式也需要闭合曲线 C C C和它所包围的面积 R R R及向量场 F = < M , N > \bold F=<M,N> F=<M,N>,则通过闭合曲线的通量为:
∮ C F ⋅ n d s = ∮ C M d y − N d x = ∬ R div F d A = ∬ R ( M x + N y ) d A \oint_C\bold F\cdot\bold nds=\oint_CMdy-Ndx=\iint_R\text{div}\bold F\ dA=\iint_R(M_x+N_y)dA ∮CF⋅nds=∮CMdy−Ndx=∬RdivF dA=∬R(Mx+Ny)dA
值得注意的是,格林定理的法向形式与格林定理本身是一致的,如果令 M = N , N = M M=N,\ N=M M=N, N=M,这两个定理是一致的。
跟证明格林定理的时候思路一样,先把闭合曲线围成的面积切割成一块块小矩形,如下图,
经过顶部曲线的通量是(法向量 n = j \bold n = \bold j n=j):
F ⋅ j Δ s = N ( x , y + Δ y ) Δ x \bold F\cdot\bold j\Delta s=N(x,y+\Delta y)\Delta x F⋅jΔs=N(x,y+Δy)Δx
经过底部曲线的通量是(法向量 n = − j \bold n = -\bold j n=−j):
F ⋅ ( − j ) Δ s = − N ( x , y ) Δ x \bold F\cdot(-\bold j)\Delta s=-N(x,y)\Delta x F⋅(−j)Δs=−N(x,y)Δx
两者相加, ( N ( x , y + Δ y ) − N ( x , y ) ) Δ x = ∂ N ∂ y Δ y Δ x (N(x,y+\Delta y)-N(x,y))\Delta x=\frac{\partial N}{\partial y}\Delta y \Delta x (N(x,y+Δy)−N(x,y))Δx=∂y∂NΔyΔx
左右两边也同理。
如果散度为正,说明该区域内有源(source),也就是发散的;如果散度为负,则说明该区域是汇聚点(sink),是收敛的。物理上,散度描述的是源速率(Source Rate),比如,有一流体,散度表示的就是每单位面积每单位时间加入系统的流体的量。
二维平面中的格林定理有两种形式,一种是切向,一种是法向。不同的形式有着不同的物理应用。切向形式的格林定理常用于做功;而法向的格林定理常用于计算通量。
单连通区域的描述(Simple Connected)
在上文的关于旋度,散度中,我们的暗含假设是闭合曲线 C C C包围的面积 R R R是单连通的。单连通区域需要满足以下条件:平面某一区域 D D D内,任意闭合曲线所包含的区域都要在该区域 D D D内。比如说完整的圆形就是单连通的,而圆环就不属于单连通区域。
格林定理扩展形式(Extended Form)
格林定理可以在非单连通区域内成立,某区域 R R R如下如图所示。
则格林定理则为:
∫ C 1 F ⋅ d r + ∫ C 2 F ⋅ d r + ⋯ + ∫ C m F ⋅ d r = ∬ R curl F d A \int_{C1}\bold F\cdot d\bold r+\int_{C2}\bold F\cdot d\bold r+\cdots+\int_{Cm}\bold F\cdot d\bold r=\iint_R\text{curl}\bold FdA ∫C1F⋅dr+∫C2F⋅dr+⋯+∫CmF⋅dr=∬RcurlFdA