系泊系统[思路]

假设

• 系泊系统全体不发生形变
• …
• …

静力学分析

  我们将锚链看作多个首尾相连的链环，钢桶和钢管（不包括钢球，浮标）一共构成三个刚体系统${\mathbf{R}}_1,{\mathbf{R}}_2,{\mathbf{R}}_3$，其下标集合为$\mathbf{A}=\{1,2,\cdots ,n\}$，${\mathbf{R}}_1=\{R_i{\}}_{i=1}^{210}$是链环，${\mathbf{R}}_2=R_d$是钢桶，${\mathbf{R}}_3=\{R_i^{\prime }{\}}_{i=1}^4$是钢管。

符号	含义
$\rho$	海水密度
$g$	重力加速度
$\mathbf{R}$	刚体系统
${\theta }_i$	刚体$i$的水平倾角
$(x,y)$	刚体重心的直线坐标
$(x_r,y_r)$	刚体右端的直线坐标
$L_i$	链环$i$的长度
$G_i$	链环$i$所受重力
$B_i$	链环$i$所受浮力
${\tilde{F}}_i$	链环所受等效作用力
$L_i^{\prime }$	钢管$i$的长度
$G_i^{\prime }$	钢管$i$所受重力
$B_i^{\prime }$	钢管$i$所受浮力
${\tilde{F}}_i^{\prime }$	钢管所受等效作用力
$F_w$	浮标所受风力
$T_L$	刚体左端所受约束力
$T_R$	刚体右端所受约束力
$T_i$	链环所受非约束拉力
$T_i^{\prime }$	钢管右端所受非约束拉力
$下{标}_{d,c}$	分别指代钢桶和浮标
$h$	浮标吃水深度
$r_c$	浮标半径
$D$	海底深度

$$\begin{array}{rl}& 取上，右为直角系的正方向\\ & 首先考虑与钢桶直接相连的那节锚链，其受力为：\\ & \{\begin{array}{cc}& 左端受锚链的约束力T_L=T\\ & 自身重力G_1=m_{1}g\\ & 浮力B_1=\rho g{V}_1\\ & 右端受钢桶的拉力T_1=(T_x,T_y)\end{array}\\ & 记等效作用力{\tilde{F}}_1=|B_1-G_1|\\ & 左端点受力T_l是约束力，作用点不发生位移\\ & 重心水平位移变分\delta x=-\frac{1}{2}{L}_1\sin {\theta }_1\delta {\theta }_1，垂直位移变分\delta y=\frac{1}{2}{L}_1\cos {\theta }_1\delta {\theta }_1\\ & 右端点水平位移变分\delta x_r=-L_1\sin {\theta }_1\delta {\theta }_1，垂直位移变分\delta y_r=L_1\cos {\theta }_1\delta {\theta }_1\\ & 对于刚体而言，\\ & 虚功\delta W=-{\tilde{F}}_1\delta y+T_y\delta y_r+T_x\delta x_r=0\\ & 虚功表达式化为{\theta }_i的变分：\\ & (-\frac{1}{2}{\tilde{F}}_1{L}_1+T_y{L}_1)\cos {\theta }_1\delta {\theta }_1-T_x{L}_1\sin {\theta }_1\delta {\theta }_1=0\\ & 解得\tan {\theta }_1=\frac{-\frac{1}{2}{\tilde{F}}_1+T_y}{T_x}\\ & \\ & 同样，对下一节锚链而言，其受力为：\\ & \{\begin{array}{cc}& 左端受锚链的约束力T_L\\ & 等效作用力{\tilde{F}}_2=|B_2-G_2|\\ & 右端受第一节锚链的拉力T_2=-{\tilde{F}}_1+T_1=(T_x,-{\tilde{F}}_1+T_y)\end{array}\\ & 因此各段锚链的倾角{\theta }_i=\arctan \frac{-\frac{1}{2}{\tilde{F}}_i-\sum _{k=1}^{i-1}{\tilde{F}}_k+T_y}{T_x},i\le 210,i\in {\mathbb{Z}}^{\ast }（最后一段锚链受锚的约束力）\\ & \\ & 再考虑与钢桶直接连接的钢管：\\ & \{\begin{array}{cc}& 右端受钢管的约束力T_R=T\\ & 等效作用力{\tilde{F}}_1^{\prime }=|B_1^{\prime }-G_1^{\prime }|\\ & 左端受钢桶的拉力T_1^{\prime }=(T_x^{\prime },T_y^{\prime })\end{array}\\ & 同样可以得到其倾角{\theta }_i^{\prime }=\arctan \frac{-\frac{1}{2}{\tilde{F}}_i^{\prime }-\sum _{k=1}^{i-1}{\tilde{F}}_k^{\prime }-T_y^{\prime }}{-T_x^{\prime }},i=1,2,3,4（最后一段钢管受浮标的约束力）\\ & \\ & 考虑钢桶的受力：\\ & \{\begin{array}{cc}& 右端受钢管的拉力T_1^{\prime }\\ & 等效作用力{\tilde{F}}_d=B_d-G_d\\ & 重物球的重力G_B\\ & 左端受锚链的拉力T_1\end{array}\\ & 将T_1视为约束力，得到：{\theta }_d=\arctan \frac{-\frac{1}{2}{\tilde{F}}_d+T_y^{\prime }}{T_x^{\prime }}\\ & 将T_1^{\prime }视为约束力，得到：{\theta }_d=\arctan \frac{-\frac{1}{2}{\tilde{F}}_d-T_y-G_B}{-T_x}\\ & 由上式可知：T_x^{\prime }=T_x，T_y^{\prime }=T_y+G_B+{\tilde{F}}_d，该式也可由受力平衡条件推得\\ & \\ & 考虑浮标受力:\\ & \{\begin{array}{cc}& 风力F_w=0.625v^2(H-h)d_c\\ & 浮力B_c=\rho gh\pi r_c^2\\ & 等效作用力{\tilde{F}}_c=|B_c-G_c|\\ & 重力G_c=m_{c}g\\ & 下端受钢管约束力T_R=(F_w,{\tilde{F}}_c)\end{array}\\ & 将T_R回带到刚体R_4^{\prime }，得到：T_4^{\prime }+{\tilde{F}}_4^{\prime }=T_R\\ & 即：\sum _{k=1}^4{\tilde{F}}_k^{\prime }+T_y^{\prime }={\tilde{F}}_c,T_x^{\prime }=F_w\\ & 得到{\theta }_4^{\prime }=\arctan \frac{-\frac{1}{2}{\tilde{F}}_4^{\prime }-{\tilde{F}}_c+{\tilde{F}}_4}{-F_w}\\ 类似地,& {\theta }_i^{\prime }=\arctan \frac{-\frac{1}{2}{\tilde{F}}_i^{\prime }-{\tilde{F}}_c+\sum _{k=i}^4{\tilde{F}}_k^{\prime }}{-F_w}\\ & {\theta }_d=\arctan \frac{-\frac{1}{2}{\tilde{F}}_d+{\tilde{F}}_c-\sum _{k=1}^4{\tilde{F}}_k^{\prime }}{F_w}\\ & 同样有，\\ & T_x=F_w,T_y=T_y^{\prime }-G_B-{\tilde{F}}_d=-\sum _{k=1}^4{\tilde{F}}_k^{\prime }+{\tilde{F}}_c-G_B-{\tilde{F}}_d\\ 即& {\theta }_i=\arctan \frac{-\frac{1}{2}{\tilde{F}}_i-\sum _{k=1}^{i-1}{\tilde{F}}_k-\sum _{k=1}^4{\tilde{F}}_k^{\prime }+{\tilde{F}}_c-G_B-{\tilde{F}}_d}{F_w}\\ & \\ & \\ & 从总体上看，要使锚链全部悬空，则必须要有T_y-\sum _{i=1}^{210}{\tilde{F}}_i\ge 0\\ & 代入T_y=-\sum _{k=1}^4{\tilde{F}}_k^{\prime }+{\tilde{F}}_c-G_B-{\tilde{F}}_d\\ & 解出临界浮力B_{c0}\ge 21911.54，即临界吃水深度h0\ge 0.964\\ & 在全部悬空状态下，系统高度H=H_1(h)=\sum _{i=1}^{210}{L}_i\sin {\theta }_i+L_d\sin {\theta }_d+\sum _{i=1}^4{L}_i^{\prime }\sin {\theta }_i^{\prime }+h\\ & 否则H=H_2(h)=\sum _{i=1}^k{L}_i\sin {\theta }_i+L_d\sin {\theta }_d+\sum _{i=1}^4{L}_i^{\prime }\sin {\theta }_i^{\prime }+h，其中k为第一个触底的链环\\ & 而H(h)\equiv D\end{array}$$

模型求解

确定悬浮类型

$$\begin{array}{rl}& 将悬空状态的临界吃水深度记为h_0\\ & 将给定风速v代入后，若H_1(h_0)>D，则说明真实吃水深度小于h_0\\ & 锚链部分沉底，需使用H_2(h)作为系统高度\end{array}$$

求解倾角

$$\begin{array}{rl}& 对于全悬浮类型，可以使用二分查找，在[h0,2]中搜索h\\ & 对于部分沉底类型，可以认为第k-1个链环对第k个链环的拉力不足以使它离开海底，\\ & 即链环k受到略小于{\tilde{F}}_k的支持力N，故B_c\in [B_{c0}-\sum _{i=1}^k{\tilde{F}}_i,B_{c0}-\sum _{i=1}^{k-1}{\tilde{F}}_i]，\\ & 算得h_0^{\prime }\in [h_0-(210-k)\Delta h,h_0-(210-k+1)\Delta h],其中\Delta h=\frac{{\tilde{F}}_i}{\rho gS}=0.00019\\ & 在[0,210]中使用二分查找搜索k，对于正确的k，可以算得对应的H_2(h_0^{\prime })与D的误差不超过一个L_i\\ & 完全悬浮假设下，k=0，随着k增大，h_0^{\prime }增大，确定h与k后可以算得H，故H随k增大而增大\\ & 最终能确定一个k值，使得对应的H_k满足|H_k-D|\le \Delta h\end{array}$$

问题三

$$\begin{array}{rl}& 考虑浮标的近海水流力，F_f=374h{d}_c{v}^2\\ & 设F_f与F_w夹角为\varphi \\ & 则等效作用力F_e=F(w_{water},v_{wind},h,\varphi )=F_f^2+F_w^2-2F_f{F}_w\cos \varphi \\ & \\ & \\ & 首先考虑钢管受的近海水流力F_w^{\prime }：\\ & 法平面截面积S^{\prime }\le 0.05\sqrt{0.05^2+1^2}=0.05006\\ & 近海水流力F_w^{\prime }\le 42.127\\ & 其所受等效作用力{\tilde{F}}^{\prime }=78.27\\ & 不考虑锚链重力，钢管两端所受拉力T>{\tilde{F}}_d+{\tilde{F}}_b=270+10214=10484\\ & 故夹角正弦值\sin \phi <\frac{F_w^{\prime }}{T}=0.004,\phi <0.23^{\circ }\\ & 而链环所受拉力T>\min \{F_w+F_f\}\ge 3366（以36m/s的风速和1.5m/s的水流速度计算）\\ & 此时其所受近海水流力F_W\le 374S_{\max }{v}^2=374\times 0.0018\times 1.5^2=1.51\\ & （以1.5m/s的水流速度，\mathbf{I}\mathbf{I}型链环计算）\\ & 故夹角正弦值\sin \psi <\frac{1.51}{3366}=0.0004,\psi <0.02^{\circ }\\ & \\ & 因此，可以认为系统中除浮标外的结构几乎不受水流影响\\ & \\ & \\ & 此时倾角计算公式中的F_w用F_c代替，即\\ & {\theta }_i=...\\ & {\theta }_i^{\prime }=...\\ & {\theta }_d=...\\ & 对于不同的深度D，系统深度满足方程：\\ & H(h)=D\\ & 由此可计算对应的h，即:\\ & h=h(F_e(h),D,k,G_b)，(k为链环数量，G_b为重物球重量)\\ & 对于不同的链环类型type，链环的长度L_i与等效作用力{\tilde{F}}_i不同\\ & 则系统倾角为：\\ & \theta =\theta (type,h)\\ & 同时，倾角满足：\\ & {\theta }_k<16\\ & {\theta }_d>85\\ & 事实上，v_{water},v_{wind},D均为环境参数，因此，问题变为：\\ & 给定v_{water},v_{wind},\varphi ,D，求解不等式组：\\ & \{\begin{array}{cc}& {\theta }_k<16^{\circ }\\ & {\theta }_d>85^{\circ }\end{array}\\ & 其中\theta =\Theta (type,k,G_b)\end{array}$$

优化目标的确定

  首先，对于有k节链环，其中第k_0节链环以后的链环沉底，,那么可以去掉第k_0节链环以后的任意节链环而不改变浮标的吃水深度和其余部分的倾角，因此，从节约成本和材料的角度考虑，如果${\theta }_{k_0}<16^{\circ }$，则可以去掉沉底的链环，否则保留少数沉底链环与锚连接。
  由于假设中，重物球和不同型号的链环密度均相同，我们可以认为它们是由同种材料和同种工艺制成的，不存在单位质量的成本不同。因此在满足不等式组成立的前提下，应使得链环和重物球的总质量尽量小。
  同时，为了保证系统的稳定性，游动半径应尽量小。
  因此，优化目标定为：

• 链环尽可能短(完全悬浮）
• 链环和重物球的总质量尽可能小
• 游动半径尽可能小

优化过程

  优化思路如下：

• 由于对系泊系统而言，稳定性比节约成本更重要，故先定步长地搜索游动半径$R$最小的$(k,M)$组合
• 随后，放宽条件，选取所有在最小$R$附近的$(k,M)$组合，计算其总质量$M$
• 由于减少链环数量能够同时减少总质量和游动半径，故前两步找到的组合其链环数量已相对较少，只有在$R$和$M$都很接近的情况下才比较组合之间的链环长度$kL$
    为此，我们在前两问模型模型$\mathbf{r}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{i}\mathbf{d}$的基础上构造了可变动$D,v_{water}$，将$\text{ring\_type},k$加入自变量的模型$\mathbf{R}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{i}\mathbf{d}$，将前两问的数据代入模型$\mathbf{R}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{i}\mathbf{d}$，得到的结果与模型$\mathbf{r}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{i}\mathbf{d}$相同，故新模型没有推翻前面的结论。

  可知，在风速为$36m/s$，水流速度为$1.5m/s$且两者同向时，浮标受到的到作用力最大，此时，浮标吃水越深，系统受到的水平作用力越大。
  下面以这种极端情况为例，进行优化：
$$\begin{array}{rl}& 约束为不等式组：\{\begin{array}{cc}& {\theta }_k<16^{\circ }\\ & {\theta }_d>85^{\circ }\end{array}{与}^{\prime \prime }锚链处于（或接近）完全悬{浮}^{\prime \prime }\end{array}$$
  我们可以找到一个$K_{\max }$，使得不添加重物球时，系统处于半悬浮状态。随后，当链环数量减少到一定程度（记为$K_{\min }$）后，将出现浮标完全没入水中的情况，此时链环完全绷紧。易知，可行链环数量$k\in (K_{\min },K_{\max })$
  由前分析可知，链环一定比系统完全垂直，浮标恰好完全浸没的时候多，即$$K_{\min }>\frac{D-L_c-4L_p-L_d}{L_r}=\frac{D-7}{L_r}$$同时，对于半悬浮状态，可以去掉触底的链环而使其余部分的位形几乎不发生改变。
  根据模型估算，5种型号的链环在风力水流速度差$|v_{wind}|-|v_{water}|$最大的情况下，链环数量$k=\frac{D-7}{L_r}$时，浮标完全没入水中，而$k=6\frac{D-7}{L_r}$时，系统处于半悬浮状态。故令$$(K_{\min },K_{\max })=(\frac{D-7}{L_r},6\frac{D-7}{L_r})\stackrel{def}{=}{U}_0$$
  以区间$U_0$为基础，进行两端二分搜索，得到可行域$U=(k_{\min },k_{\max })$，该区间中的所有整数值都是能够使浮标露出水面，同时系统处于完全悬浮状态的链环节数$k$。（事实上，由于海水流速变化幅度较小，$k_{\min }$往往与$K_{\min }$非常接近，可直接令$k_{\min }=K_{\min }$以节约时间）
  此时，虽然系统达到的要求的高度，但未满足约束不等式组，而在$U$中，$k=k_{\max }$时的吃水深度最大，因而此时钢桶水平倾角最大，故先令$k=k_{\max }$，再从$[0,M_{\max }]$中二分查找使系统满足约束的最小的重物球质量，记为$M_0$。
  其中，我们知道，当重物球足够重时，即使没有锚链，重物球也会带着浮标沉入海底，计算得到，当重物球质量$M=7297$时，重物球、钢桶、钢管、浮标正好可以不依靠锚链悬浮在水中，故记$M_{\max }=7297$
  在$k=k_{\max }$的系统上加装质量为$M_0$的重物球，系统一定转换为半悬浮状态（因为$k=k_{\max }$的系统在无重物球时恰好完全悬浮），此时去掉沉底的链环，系统仍满足约束，故这一步能进一步缩小可行域$U$
  由前可知，增加重物球质量的同时，锚链减少相同的质量，可以使浮标的吃水深度不变，而钢管钢桶的相对位形仅和吃水深度有关，故以此法增加重物球质量后，理论上的锚链总高度不变，而长度（即$k$）变小。但当$k$减小时，锚链变得更为“绷紧”，位形更接近一条线，使得对钢桶的拉力稍微增大，最终体现为吃水深度稍微增大，进而对钢桶倾角产生影响，为了满足约束，需要再额外增加重物球的质量。由此，我们可以得到可行域$U$中每一个$k_i$所对应的最小重物球质量$M_i$，进而得到整个系统的状态。如果在$M_i$的基础上继续增加重量，会使水平作用力继续增大，进而增加游动半径，得不偿失。
  注意到，当$k$减小到一定程度时，即使${\theta }_k$满足约束，锚链的长度也不足以使浮标浮出海面。一旦出现这种情况，就可以停止搜索。

  先计算在极端情况下，系统能正常工作的最优$(k,M)$组合（此处以$\text{I}$型链环，深度$D=16$为例）：
$$\begin{array}{rl}& k_{\min }=\frac{D-7}{L_r}>114\\ \therefore & U_0=(115,690)\\ & 算得U=(115,575)，M_0=1216\\ & 带入M_0，算得U=(115,375)\\ & 在此基础上进行搜索，得到：\\ & k\in [293,375],M\in [1216,1222]\\ & 其中某些可行解为：(所有可行解见附录)\\ & (k,M)=(293,1222),(350,1217),(375,1216)\\ & 计算出对应的总质量和游动半径(k,M,M_{total},R)=\\ & (293,1222,1244.854,20.54)\\ & (350,1217,1244.3,25.21)\\ & (375,1216,1245.25,27.18)\end{array}$$
  对于某一方案$U_i$，我们取其重量得分$S_m$，游动半径得分$S_r$分别为$$S_m=\frac{M_{total}^{(i)}}{\underset{U}{\max }{M}_{total}},S_r=\frac{\underset{U}{\max }R-R^{(i)}}{\underset{U}{\max }R}$$
随后我们使用相对客观的信息熵法确定两种得分的权重$w_m,w_r$，最后得到总得分$$S=w_m{S}_m+w_r{S}_r$$
用上述方法计算得到的最优方案为$k=293,M=1222$，其钢桶垂直角度$\phi =4.94^{\circ }$，锚链水平倾角$\theta =11.8^{\circ }$，游动半径$R_s=20.5$。
  以同样的方法计算其余四个型号的最优方案：

型号	$k$	$M$	$M_{total}$	$\phi$	$\theta$	$R_s$
$\text{I}$	$271$	$1225$	$1246$	$4.88^{\circ }$	$15.84^{\circ }$	$18.7$
$\text{II}$	$165$	$1166$	$1183$	$4.93^{\circ }$	$15.78^{\circ }$	$13.9$
$\text{III}$	$126$	$1098$	$1113$	$4.94^{\circ }$	$15.49^{\circ }$	$10.9$
$\text{IV}$	$92$	$1021$	$1034$	$4.94^{\circ }$	$15.27^{\circ }$	$8.84$
$\text{V}$	$72$	$930$	$942$	$4.93^{\circ }$	$14.89^{\circ }$	$7.38$

  同样以信息熵拳法，取$M_{total},\phi ,\theta ,R_s$作为指标，计算5种型号的得分：

型号	得分
$\text{I}$	$2.64\times 10^{-6}$
$\text{II}$	$0.24$
$\text{III}$	$0.39$
$\text{IV}$	$0.50$
$\text{V}$	$0.57$

故采用型号$\text{V}$
  类似地，当水深为20m时，各型号的最优方案如下：

型号	$k$	$M$	$M_{total}$	$\phi$	$\theta$	$R_s$
$\text{I}$	$345$	$1205$	$1232$	$4.87^{\circ }$	$15.92^{\circ }$	$22.8$
$\text{II}$	$211$	$1131$	$1153$	$4.93^{\circ }$	$15.81^{\circ }$	$16.6$
$\text{III}$	$163$	$1042$	$1062$	$4.94^{\circ }$	$15.32^{\circ }$	$12.8$
$\text{IV}$	$120$	$936$	$954$	$4.96^{\circ }$	$15.66^{\circ }$	$10.2$
$\text{V}$	$95$	$813$	$830$	$4.94^{\circ }$	$14.75^{\circ }$	$8.4$

5种型号的得分：

型号	得分
$\text{I}$	$2.29\times 10^{-6}$
$\text{II}$	$0.24$
$\text{III}$	$0.40$
$\text{IV}$	$0.51$
$\text{V}$	$0.59$