微分方程和差分方程的区别与联系

前言

微分方程和差分方程的知识我们应该都知道，因为在数字信号处理中微分方程涉及了模拟滤波器，差分方程涉及了数字滤波器。但是有时会搞不清楚，或者说会在概念上混淆。虽然在做算法过程中可能不会受到太大影响，但是这种基础知识我们是有必要搞清楚的，这是算法人员的基本素养。下面就分别来讲讲微分方程、差分方程以及它们之间的区别和联系。

同时，在网上看到的关于它们的文章也只是粗略的对比，讲的也并不准确。

微分方程

我们从高等数学的知识知道，微分方程是求解未知函数的，同时它的基本元素是导数，也就是说是导数的函数，而真正求解的是未知函数，比如数字信号处理中的线性常系数微分方程的模拟滤波器：
（1）
它是模拟滤波器的一种。我们知道既然是导数，肯定是连续变量，这里就是连续时间信号，而再进一步就是拉普拉斯变换：
（2）
当 s = jw，就是连续时间信号的傅里叶变换。这是连续时间信号的一整套知识体系。

使用差分方程来逼近微分方程（其中一种）

从高等数学的知识知道，导数本质上是信号值的差除以时间的差，并对它进行求极限，那么从这点，我们就可以推得使用极限形式的表达式来替换导数是可行的，但是如果直接用极限，不就等于导数了吗，这样意义不大。另外，信号可分为连续时间信号和离散时间信号，所以可以用离散时间信号来替代连续时间信号，而求得一个近似值，这就是所谓的逼近了。接触过 IIR 滤波器的读者，对导数逼近设计 IIR 滤波器的方法应该并不陌生，其中就使用了这个原理。
一阶导数的替换公式如下（式（1）的左边）：
（3）
其中等式左边是时间的一阶导数，而 T 是采样周期。
二阶导数的替换公式如下：
（4）
如此，就可得到任意阶的差分等式替换（这里就不具体说了，在导数逼近设计 IIR 滤波器的方法中有详细讲解）。

差分方程

数字信号处理中，线性常系数差分方程的 IIR 滤波器是这样的：
（5）
它是一个递归函数，那么我们现在提出问题了：式（1）和式（5）能对应起来吗？答案是肯定的。

因为从式（3）和式（4）知，如果对式（1）所有阶数的导数进行替换，再对产生的式子进行重新排列，就会得出式（5）的结果，所不同的是系数而已，而系数就是我们需要求的。

相对应的，差分方程是对离散数据的操作，也就是离散时间信号，对应的就是 z 变换。当然当 z = exp(jw)，就是离散时间的傅里叶变换。

结论

本篇举例讲解了微分方程和差分方程的基本关系，它们都是对应在时间域上，前者是连续时间变量，后者是离散时间变量；前者是拉普拉斯变换，后者是 z 变换。这些知识如果都理解透了，我们有时候会觉得这个很有趣，更会觉得这些显得都很和谐 ^_