字符串匹配之有限自动机&kmp算法

　　由于传统的字符串匹配效率不高，大概思路：从主串的第pos个字母起和模式的第一个字符比较之，若相等，则继续逐个比较后续字符；否则从主串的下一个字符起再重新和模式的字符比较之，以此类推，直到匹配完主串的每一个子串，如果主串有n个字符，模式串有m(m

　　kmp其实是在有限自动机的基础上改进过来的，因此先考虑有限自动机。它的主要改进点是，当出现主串和模式串某个字符比较时不相等时，不返回到主串上次比较位置的下一个位置，而是通过对模式串进行预处理后，得到一个状态转移表，表中每一个元素是一个状态，根据此表就可以不返回主串的位置，也就是说主串可以一直向后比较，改变标记的只是模式串的位置，也就是下次所在的状态。这样一来在匹配时的时间复杂度就只有n了（主串只扫描了一遍），但是用有限自动机在构建状态转移表时的复杂度是O(m*@)，m是他的模式串的长度，也就是所拥有的所有状态数，@就是在这个模式串中出现的字符种类，当建立了这个表，就可以快速的根据当前的字符，和当前的状态找到转移到的状态，伪代码非常的简单：

FINITE_AUTOMATON_MATCHER(T,&,m)

1       n <---length[T]

2       q <----- 0                  //q为当前的状态，即模式串中的位置

3       for i <----1  to  n

4              do     q  <-------  &(q,T[i])    //把表中的状态给q

5              if q == m   then  print " Pattern occurs with shift" i-m;

这就是对只有一个模式串的有限自动机的方法，下面介绍kmp算法，他的改进地方主要在对模式串的预处理上，对于只有一个模式串的问题，可以仅用一个next数组（含有m个元素）来表示，构建时间为m,这样算法的时间就不受限于不同的模式串了，只要他们的长度一样，运行时间就一样。但是kmp也仅限于处理单模式串的匹配问题，对于　多模式串的匹配，还是要回归到原来的有限自动机的方法，这个在最后介绍。

kmp构造next数组最关键的一个思想就是：对于模式串的第j个字符，next[j]的数值等于在前j个模式串中p1,...,pj,找到一个最长的前缀，这个前缀也是此子模式串的后缀，（很显然，此值必然小于j）这个最长的前缀的字符数就是next[j]的数值。伪代码如下：

COMPUTE_PREFIX_FUNCTION(P)
1   m<--- length[p]
2   next[1] <--- 0
3   k<--- 0
4   for q <-- 2 to m
5         do while k>0 and p[K+1] != p[q]
6                 do k <--- next[k]
7            if p[k+1] = p[q]  then k <--- k+1
8             next[q] <--- k
9   return next

求最大前缀的实现巧妙的运用了最大前缀传递的性质，第6步是关键的语句。复杂度m。
有了这个预处理，在进行匹配时就跟之前的有限自动机一样了。这里省略了伪代码。。。他的复杂度为n

最后说一下对于多模式串的匹配。这个我自己也没有实现过，当时刚好我同学要做这方面的东西，我也顺便了解了一下实现过程。对于多个字符串，只能通过有限自动机创建状态转移，当全部建好后，它就类似于一棵字母树，每一条到叶子的路径代表着一个模式串，然后通过广度优先确定当出现匹配不相等时，转移到的状态。这里如果有很多模式串，而且字符的出现概率，等等都是随机的话，这棵字母树就会非常的复杂，需要一个比较好的结构来存储，平衡二叉树（红黑树）在基于时间空间上的权衡后是一个不错的选择，当然还有其它很多的存储方式。。。。。。本人对于字符串的匹配学习主要是通过MIT的算法导论和同学的几篇论文。