动态DP（学习笔记）
一道模板题
动态 d p dp dp是猫学长发明的用来解决树上带修DP的问题的算法。
好像多数是求树上最大权独立集？
树上最大权独立集我们可以用树形 d p O ( n ) dpO(n) dpO(n)地求出来，设 f [ u ] [ 0 / 1 ] f[u][0/1] f[u][0/1]表示 u u u为根的子树 u u u选或不选的最优方案，可以列出转移式：
f [ u ] [ 0 ] + = m a x ( f [ v ] [ 1 ] , f [ v ] [ 0 ] ) f[u][0]+=max(f[v][1],f[v][0]) f[u][0]+=max(f[v][1],f[v][0])
f [ u ] [ 1 ] + = f [ v ] [ 0 ] f[u][1]+=f[v][0] f[u][1]+=f[v][0]
如果带修改该如何做呢，这个时候就要用树剖+线段树+矩阵来解决了。
树剖+线段树是常用的解决树上问题的优秀算法，想想重链一定是一个区间，就可以用线段树来维护，那么每个节点只需要维护其他轻儿子，可以把上面的转移式改一改：
f [ u ] [ 0 ] = ∑ v ∈ l i g h t s o n ( u ) m a x ( f [ v ] [ 1 ] , f [ v ] [ 0 ] ) f[u][0]=\sum_{v\in lightson(u)}max(f[v][1],f[v][0]) f[u][0]=∑v∈lightson(u)max(f[v][1],f[v][0])
f [ u ] [ 1 ] = a [ u ] + ∑ v ∈ l i g h t s o n ( u ) f [ v ] [ 0 ] f[u][1]=a[u]+\sum_{v\in lightson(u)}f[v][0] f[u][1]=a[u]+∑v∈lightson(u)f[v][0]
把新的 f f f记为 g g g
这样就实现了维护一棵树到维护一个序列的转变
这个转移怎么转化成矩阵的形式？
我们可以改变一下矩阵乘法的运算：
Mat operator *(const Mat &x) const{
Mat ret;
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
for(int k=0;k<2;k++)
ret.g[i][j]=max(ret.g[i][j],g[i][k]+x.g[k][j]);
return ret;
}
然后想想矩阵是什么：
[ f i , 0 f i , 1 ] = [ f i − 1 , 0 f i − 1 , 1 ] × [ g i , 0 g i , 0 g i , 1 − ∞ ] \begin{bmatrix}f_{i,0}\\f_{i,1}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}f_{i-1,0}\\f_{i-1,1}\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}g_{i,0}&g_{i,0}\\g_{i,1}&-\infty \end{bmatrix} [fi,0fi,1]=[fi−1,0fi−1,1]×[gi,0gi,1gi,0−∞]
然后代入矩阵乘法算一算，顿时觉得很有道理啊
于是可以用线段树维护每个区间的矩阵积，查询的时候只需要在线段树上 q u e r y query query就好了
然后修改怎么做呢？可以发现当一个节点的权值改变了，那么它的链顶的节点的 f f f值会改变，再往上，每过一条轻边，它都会影响那个点的 g g g值，在线段树上单点修改就好了，因为轻边是 l o g n logn logn级别的，线段树修改也是 l o g n logn logn级别的，所以修改复杂度是 n l o g 2 n nlog^2n nlog2n的，查询 n l o g n nlogn nlogn，总复杂度 O ( n l o g 2 n ) O(nlog^2n) O(nlog2n)
代码如下：
#include