多元函数中可微与可导的直观区别是什么？

1 偏微分

在一元函数中的微分就是函数的切线：

其实这个空间曲线是 这个空间平面与 这个空间曲面的交线：我们就把这个切线称为 对于 的偏微分。理解了这个，就可以举一反三，所有 （ 为常数）的平面与 的交线都是满足刚才说的特点：

这些交线上的点的切线都是 关于 的偏微分。

当然，如果 与 （ 为常数）得到的交线，这些交线的切线就是 关于 的偏微分。

总结，偏微分就是：

• 固定 ，变换 得到的就是 关于 的偏微分
• 固定 ，变换 得到的就是 关于 的偏微分

2 偏导数

偏微分理解了偏导数就好理解了，就是偏微分的斜率，现在你应该可以明白为什么我们在求 对于 的偏导数的时候，我们把 当作常数来看待了吧。

只是有一点需要说明，在三维空间中角度可以有不同的定义，计算斜率的时候我们是看下面这个 角：

总结，偏导数就是偏微分的斜率。

3 全微分

其实，不光是 或者 这样的平面可以和 相交得到交线，所有和 平面垂直的平面都相交得到交线，这些交线都会有切线（微分）。

这个平面相交得到的交线：

这个平面也可以：

如果这些切线都存在，并且这些切线（无数条）还都在同一个平面上（平面不是曲面），那么得到的这个平面就是全微分（也叫做切平面，或者说切空间）：

总结，全微分就是：

• 360°微分都存在
• 并且这些微分要共面，得到的就是全微分

4 全微分与偏导数、偏微分的关系

根据全微分的定义，如果全微分存在，那么偏导数、偏微分一定存在。

但是反过来不一定成立，即偏导数、偏微分存在，全微分不一定存在。因为偏导、偏微分只是 或者 方向的导数、微分，而全微分要求的是360°无死角。

举个例子，看这个 ：

我们考察这个函数在 点的全微分和偏微分的情况。

与 的交线是：

平面与曲面所交曲线与 轴重合：

在 点的微分（切线）很明显，就是交线（ 轴）自身，因此关于 的偏微分存在。

但是 与 的交线是：

在 点形成了一个尖点，很显然此时的微分不存在：

因此，全微分不存在。

总结，全微分与偏导数、偏微分的关系：

• 全微分存在偏导数、偏微分一定存在
• 偏导数、偏微分存在全微分不一定存在