task1图像插值算法

Datawhale 计算机视觉基础-图像处理（上）-Task01 OpenCV框架与图像插值算法

1.1 简介

  在图像处理中，平移变换、旋转变换以及放缩变换是一些基础且常用的操作。这些几何变换并不改变图象的象素值，只是在图象平面上进行象素的重新排列。在一幅输入图象$[u，v]$中，灰度值仅在整数位置上有定义。然而，输出图象[x，y]的灰度值一般由处在非整数坐标上的$（u，v）$值来决定。这就需要插值算法来进行处理，常见的插值算法有最近邻插值、双线性插值和三次样条插值。

1.2 学习目标

• 了解插值算法与常见几何变换之间的关系
• 理解插值算法的原理
• 掌握OpenCV框架下插值算法API的使用

1.3 内容介绍

1. 插值算法原理介绍
   • 最近邻插值算法
   • 双线性插值算法
2. OpenCV代码实践
   • cv.resize()各项参数及含义
3. 动手实现（由读者自己完成）

1.4 算法理论介绍与推荐

1.4.1 最近邻插值算法原理

  最近邻插值，是指将目标图像中的点，对应到源图像中后，找到最相邻的整数点，作为插值后的输出。

  如上图所示，目标图像中的某点投影到原图像中的位置为点P,此时易知，$f(P)=f(Q11)$.

一个例子：

  如下图所示，将一幅3X3的图像放大到4X4，用$f(x,y)$表示目标图像，$h(x,y)$表示原图像，我们有如下公式：

$$\begin{array}{c}f(ds{t}_X,ds{t}_Y)=h(\frac{ds{t}_{X}sr{c}_{Width}}{ds{t}_{Width}},\frac{ds{t}_{Y}sr{c}_{Height}}{ds{t}_{Height}})\end{array}$$

$$\begin{array}{c}f(0,0)=h(0,0)\\ f(0,1)=h(0,0.75)=h(0,1)\\ f(0,2)=h(0,1.50)=h(0,2)\\ f(0,3)=h(0,2.25)=h(0,2)\\ ...\end{array}$$

缺点：
用该方法作放大处理时，在图象中可能出现明显的块状效应

import cv2
import numpy as np
arr=np.random.randint(255,size=(500,500),dtype=np.uint8)
amplifier=cv2.resize(arr,dsize=None,fx=2,fy=2,interpolation=cv2.INTER_NEAREST)
minimise=cv2.resize(amplifier,dsize=None,fx=0.5,fy=0.5,interpolation=cv2.INTER_NEAREST)
print((minimise==arr).sum())

1.4.2 双线性插值

  在讲双线性插值之前先看以一下线性插值，线性插值多项式为：

$$f(x)=a_{1}x+a_0$$

$$y=y_0+\left(x-x_0\right)\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=y_0+\frac{\left(x-x_0\right)y_1-\left(x-x_0\right)y_0}{x_1-x_0}$$

  双线性插值就是线性插值在二维时的推广,在两个方向上做三次线性插值，具体操作如下图所示：

  令$f(x，y)$为两个变量的函数，其在单位正方形顶点的值已知。假设我们希望通过插值得到正方形内任意点的函数值。则可由双线性方程:
$$f(x,y)=ax+by+cxy+d$$

  来定义的一个双曲抛物面与四个已知点拟合。

  首先对上端的两个顶点进行线性插值得：

$$f(x,0)=f(0,0)+x[f(1,0)-f(0,0)]$$

  类似地，再对底端的两个顶点进行线性插值有：
$$f(x,1)=f(0,1)+x[f(1,1)-f(0,1)]$$

  最后，做垂直方向的线性插值，以确定：

$$f(x,y)=f(x,0)+y[f(x,1)-f(x,0)]$$

  整理得：

$$\begin{array}{l}f(x,y)=[f(1,0)-f(0,0)]x+[f(0,1)-f(0,0)]y\\ +[f(1,1)+f(0,0)-f(0,1)-f(1,0)]xy+f(0,0)\end{array}$$

1.4.3 三次样条插值

  给定$n+1$个点，$a=x_0<x_1<...<x_n=b$，以及他们的函数值$f(x_i),i=0,1,2,...n$，在每个区间$[x_i,x_{i+1}]$上，确定一个三次多项式：
$$S_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i{)}^2+d_i(x-x_i{)}^3，i=0,1,...n-1$$
  每个三次多项式中有四个未知参数，有$n$个区间，$n$个多项式，共$4n$个未知参数。我们知道“$n$个未知数需要$n$个已知条件确定唯一解”，所以要确定这$4n$个未知参数，共需要$4n$个已知条件。

  每个三次多项式满足如下条件：

• $S_i$二阶可导，且$S_i$，$S_i^{{}^{\prime }}$，$S_i^{{}^{\prime \prime }}$在区间$[a,b]$内连续
• $S_i(x_i)=y_i$，$S_i(x_{i+1})=y_{i+1}$，$i=0,1,...n-1$（共$n+1$个条件）
• $S_i(x_{i+1})=S_{i+1}(x_{i+1})$，$i=0,1,...n-2$（共$n-1$个条件）
• $S_i^{{}^{\prime }}(x_{i+1})=S_{i+1}^{{}^{\prime }}(x_{i+1})$，$i=0,1,...n-2$（共$n-1$个条件）
• $S_i^{{}^{\prime \prime }}(x_{i+1})=S_{i+1}^{{}^{\prime \prime }}(x_{i+1})$，$i=0,1,...n-2$（共$n-1$个条件）

  以上共$4n-2$个条件，还差2个条件，由如下三种边界条件确定：

• 给定端点处一阶导数值：$S_0^{{}^{\prime }}(x_0)=y_0^{{}^{\prime }}，S_{n-1}^{{}^{\prime }}(x_n)=y_n^{{}^{\prime }}$，称为固定边界条件

• 给定端点处二阶导数值：$S_0^{{}^{\prime \prime }}(x_0)=y_0^{{}^{\prime \prime }}，S_{n-1}^{{}^{\prime \prime }}(x_n)=y_n^{{}^{\prime \prime }}$，特别地，$y_0^{{}^{\prime \prime }}=y_n^{{}^{\prime \prime }}=0$，称为自然边界条件

• 周期性条件：$S_0(x_0-0)=S_{n-1}(x_n+0)$，$S_0^{{}^{\prime }}(x_0-0)=S_{n-1}^{{}^{\prime }}(x_n+0)$，
        $S_0^{{}^{\prime \prime }}(x_0-0)=S_{n-1}^{{}^{\prime \prime }}(x_n+0)$

  $4n$个条件有了，就可以确定每个区间上的三次多项式。

  对于每个区间内的点，就可以用$S_i(x)$得到插值结果。三次样条插值具有良好的收敛性，稳定性和光滑性，优点明显，是非常重要的插值工具。

  这里主要了解三次样条插值的作用，具体的推导过程比较繁琐，想了解的可以查阅资料。

源图像和目标图像几何中心的对齐。

源图像和目标图像几何中心的对齐

方法：在计算源图像的虚拟浮点坐标的时候，一般情况：

srcX=dstX* (srcWidth/dstWidth) ,
　　srcY = dstY * (srcHeight/dstHeight)
　　中心对齐(OpenCV也是如此)：
　　SrcX=(dstX+0.5)* (srcWidth/dstWidth) -0.5
　　SrcY=(dstY+0.5) * (srcHeight/dstHeight)-0.5
　　原理：
双线性插值算法及需要注意事项这篇博客解释说“如果选择右上角为原点（0，0），那么最右边和最下边的像素实际上并没有参与计算，而且目标图像的每个像 素点计算出的灰度值也相对于源图像偏左偏上。”我有点保持疑问。
　　将公式变形:

srcX=dstX* (srcWidth/dstWidth)+0.5*(srcWidth/dstWidth-1)
　　相当于我们在原始的浮点坐标上加上了0.5*(srcWidth/dstWidth-1)这样一个控制因子，这项的符号可正可负，与srcWidth/dstWidth的比值也就是当前插值是扩大还是缩小图像有关，有什么作用呢？看一个例子：假设源图像是33，中心点坐标（1，1）目标图像是99，中心点坐标（4，4），我们在进行插值映射的时候，尽可能希望均匀的用到源图像的像素信息，最直观的就是（4,4）映射到（1,1）现在直接计算srcX=4*3/9=1.3333！=1，也就是我们在插值的时候所利用的像素集中在图像的右下方，而不是均匀分布整个图像。现在考虑中心点对齐，srcX=(4+0.5)*3/9-0.5=1，刚好满足我们的要求。

将浮点运算转换成整数运算

将浮点运算转换成整数运算

参考图像处理界双线性插值算法的优化
　　直接进行计算的话，由于计算的srcX和srcY 都是浮点数，后续会进行大量的乘法，而图像数据量又大，速度不会理想，解决思路是：
　　浮点运算→→整数运算→→”<<左右移按位运算”。
　　放大的主要对象是u，v这些浮点数，OpenCV选择的放大倍数是2048“如何取这个合适的放大倍数呢，要从三个方面考虑，
　　第一：精度问题，如果这个数取得过小，那么经过计算后可能会导致结果出现较大的误差。
　　第二，这个数不能太大，太大会导致计算过程超过长整形所能表达的范围。
　　第三：速度考虑。假如放大倍数取为12，那么算式在最后的结果中应该需要除以1212=144，但是如果取为16，则最后的除数为1616=256，这个数字好，我们可以用右移来实现，而右移要比普通的整除快多了。”我们利用左移11位操作就可以达到放大目的。

1.4.3 映射方法

向前映射法

  可以将几何运算想象成一次一个象素地转移到输出图象中。如果一个输入象素被映射到四个输出象素之间的位置，则其灰度值就按插值算法在4个输出象素之间进行分配。称为向前映射法，或象素移交影射。

注：从原图象坐标计算出目标图象坐标镜像、平移变换使用这种计算方法

向后映射法

  向后映射法（或象素填充算法）是输出象素一次一个地映射回到输入象素中，以便确定其灰度级。如果一个输出象素被映射到4个输入象素之间，则其灰度值插值决定，向后空间变换是向前变换的逆。

注：从结果图象的坐标计算原图象的坐标

• 旋转、拉伸、放缩可以使用
• 解决了漏点的问题，出现了马赛克

1.5 基于OpenCV的实现

1.5.1 C++

函数原型：

void cv::resize(InputArray src, OutputArray dst, Size dsize, double fx=0, double fy=0, int interpolation=INTER_LINEAR )

src:输入图像
dst:输出图像
dsize:输出图像尺寸
fx、fy:x,y方向上的缩放因子
INTER_LINEAR：插值方法，总共五种
    1. INTER_NEAREST - 最近邻插值法
    2. INTER_LINEAR - 双线性插值法（默认）
    3. INTER_AREA - 基于局部像素的重采样(resampling using pixel area relation)。对于图像抽取(image decimation)来说，这可能是一个更好的方法。但如果是放大图像时，它和最近邻法的效果类似。
    4. INTER_CUBIC - 基于4x4像素邻域的3次插值法
    5. INTER_LANCZOS4 - 基于8x8像素邻域的Lanczos插值

代码实践：

#include 
#include 

using namespace cv;
using namespace std;

int main(int argc, char* argv[])
{
	Mat img = imread("D:/image/yuner.jpg");
	if (img.empty())
	{
		cout << "无法读取图像" << endl;
		return 0;
	}

	int height = img.rows;
	int width = img.cols;
	// 缩小图像，比例为(0.2, 0.2)
	Size dsize = Size(round(0.2 * width), round(0.2 * height));
	Mat shrink;
    //使用双线性插值
	resize(img, shrink, dsize, 0, 0, INTER_LINEAR);

	// 在缩小图像的基础上，放大图像，比例为(1.5, 1.5)
	float fx = 1.5;
	float fy = 1.5;
	Mat enlarge1, enlarge2;
	resize(shrink, enlarge1, Size(), fx, fy, INTER_NEAREST);
	resize(shrink, enlarge2, Size(), fx, fy, INTER_LINEAR);

	// 显示
	imshow("src", img);
	imshow("shrink", shrink);
	imshow("INTER_NEAREST", enlarge1);
	imshow("INTER_LINEAR", enlarge2);
	waitKey(0);
    return 0;
}

原图

0.2倍缩小，双线性插值

1.5倍放大，最近邻插值

1.5倍放大，双线性插值

1.5.2 Python

函数原型：

cv2.resize(src, dsize[, dst[, fx[, fy[, interpolation]]]])

参数：

参数	描述
src	【必需】原图像
dsize	【必需】输出图像所需大小
fx	【可选】沿水平轴的比例因子
fy	【可选】沿垂直轴的比例因子
interpolation	【可选】插值方式

插值方式：

cv.INTER_NEAREST	最近邻插值
cv.INTER_LINEAR	双线性插值
cv.INTER_CUBIC	基于4x4像素邻域的3次插值法
cv.INTER_AREA	基于局部像素的重采样

通常，缩小使用cv.INTER_AREA，放缩使用cv.INTER_CUBIC(较慢)和cv.INTER_LINEAR(较快效果也不错)。默认情况下，所有的放缩都使用cv.INTER_LINEAR。

代码实践：

import cv2
 
if __name__ == "__main__":
    img = cv2.imread('./data/yuner.jpg', cv2.IMREAD_UNCHANGED)
    
    print('Original Dimensions : ',img.shape)
    
    scale_percent = 30       # percent of original size
    width = int(img.shape[1] * scale_percent / 100)
    height = int(img.shape[0] * scale_percent / 100)
    dim = (width, height)
    # resize image
    resized = cv2.resize(img, dim, interpolation = cv2.INTER_LINEAR)

    fx = 1.5
    fy = 1.5

    resized1 = cv2.resize(resized, dsize=None, fx=fx, fy=fy, interpolation = cv2.INTER_NEAREST)
    
    resized2 = cv2.resize(resized, dsize=None, fx=fx, fy=fy, interpolation = cv2.INTER_LINEAR)
    print('Resized Dimensions : ',resized.shape)
    
    cv2.imshow("Resized image", resized)
    cv2.imshow("INTER_NEAREST image", resized1)
    cv2.imshow("INTER_LINEAR image", resized2)
    cv2.waitKey(0)
    cv2.destroyAllWindows()

Original Dimensions :  (1080, 1080, 3)
Resized Dimensions :  (324, 324, 3)

1080*0.3

324.0

0.3倍缩小，双线性插值

1.5倍放大，最近邻插值

1.5倍放大，双线性插值

• 推荐书籍：学习OpenCV中文版
• 推荐博客：https://blog.csdn.net/hongbin_xu/category_6936122.html

1.6 总结

  插值算法是很多几何变换的基础和前置条件，对插值算法细节的掌握有助于对其他算法的理解，为自己的学习打下坚实的基础。

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Task01 OpenCV框架与图像插值算法 END.

— By: Aaron

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博客：https://blog.csdn.net/weixin_39940512

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