luogu4980 Burnside引理和Polya定理学习笔记

我已经是一个啥都学不懂的人了

由于别人的博客都比较好，所以我就直接搬了一些了

1.置换。
大概学过抽象代数的同学都知道这个概念吧。
置换简单来说就是对元素进行重排列，如下图所示。置换是[1,n]到[1,n]的一一映射。

再比如，将正方形绕其中心逆时针旋转90度，可以看成是正方形四个顶点的一个置换。关于置换、置换群的具体理论，可以学一下抽象代数。
（1）置换可以分解成若干循环，方法为：连边$1->a1,2->a2,\dots ，i->ai，\dots ,n->an$，任取一个元素，顺着有向边走，直到回到出发点，即形成一个环，剩余元素也是这样。
（2）如果一个状态经过置换f后跟原来相同，即$S[1]=S[a1],S[2]=S[a2],\dots ,S[n]=S[an]$。则称该状态为f 的不动点。
（3）题目中常常出现“本质不同的方案数”，一般是指等价类的数目，题目定义一个等价关系，满足等价关系的元素属于同一等价类。等价关系通常是一个置换集合$F$，如果一个置换能把其中一个方案映射到另一个方案，则二者是等价的。
那么，置换构成的群就是置换群，就是交换排列顺序而已。

那么这里介绍一个$Burnside$引理

对于一个置换$f$,若一个染色方案$s$经过置换后不变，称$s$为$f$的不动点。将$f$的不动点数目记为$C(f)$，则可以证明等价类数目为所有$C(f)$的平均值。

换句话说，我们是要所有不同的段之间的对应位置相同（其实也就是形成一个轮换）

举个例子，比如说，对于一个$2\times 2$的矩形，他有四种置换，分别是旋转90°，180°，270°和0°，而对于这四种，对于90°，他就相当于四个块（每90°一块）的对应位置是相同的，那就是我们有两种染法（因为每一块就一个矩形，而只有染和不染两种选择。）

那么同理 180°是4种，0°是16种，270°也是2种

那么最终的$ans=\frac{2+2+4+16}{4}=6$

那么6就是我们最后要求的答案了。

那么有一个例题 T73176 秘籍-反复迷宫
23333
具体可以去洛谷团队——硫代硫酸钠纠察大队 里面看题面

这个题的话就是一个$burnside$引理的好题。
考虑正方形，假设我们已经通过递推得到了图形含有的总边数$sum$，那么考虑四边形的置换存在四种，那么我们分情况讨论，首先是$90°$，由于我们在用$burnside$的时候规定了每一个对应位置都是相等的，也就是说，我们这一段和剩下所有的段都相等，方案数就是$C_{n/4}^{r/4}$，相当于划分成完全相同的四份，然后从一份中选出来$r/4$（因为剩下都一样）。
这里需要注意的是，由于要是完全相同，所以$r$要是$4$的倍数，剩下的也是同理，这里就不多介绍。

六边形也是一样的道理

那么我们会发现，这些栗子的共性就是只有染色和不染色两种情况。

那如果有颜色该怎么办呢？

这时候就需要$Polya$定理

考虑每一个循环本身的颜色要求相同，但是互相之间却没有要求
比如说$6个数组成的环$，那么可以构成$(1,4)(2,5)(3,6)$这样的循环，两两之间没有限制的，那么我们会发现，实际上贡献就是$m^k$，m是颜色数，k是这样的循环数。

回到洛谷4980这个题的话，我们经过推理（目前我所理解的最好理解的版本）
可以看出来，那么对于一个置换他的段数就是$n/(lcm(n,i)/i)$，原因同上。

那么也就是$gcd(i,n)$

那么问题就转化成了求${\sum }_{i=1}^n{n}^{gcd(i,n)}$
推一波柿子
$$ans=\sum _{d|n}{n}^d\sum _{i=1}^n[gcd(i,n)==d]$$
$$ans=\sum _{d|n}{n}^d\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})==1]$$
$$ans=\sum _{d|n}{n}^d\times \varphi (\frac{n}{d})$$

那么我们可以对于每一个因数都是用$O(\sqrt{n})$的时间复杂度求出来$phi$

然后就可以解决这个题了

// luogu-judger-enable-o2
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lson ch[x][0]
#define rson ch[x][1]
#define int long long

using namespace std;

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

const int mod = 1e9+7;
 
int n,t;

int getphi(int x)
{
    if (x==1) return 1;
    int tmp = x;
    int xx = x;
    for (int i=2;i*i<=xx;i++)
    {
        if (x%i==0)
        {
            tmp=tmp/i*(i-1);
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    }
    if (x>1) tmp=tmp/x*(x-1);
    return tmp;
}

int qsm(int i,int j)
{
    int ans=1;
    while (j)
    {
        if (j&1) ans=ans*i%mod;
        i=i*i%mod;
        j>>=1;
    }
    return ans;
}

signed main()
{
   t=read();

   while (t--)
   {
   	   n=read();
   	   int ans=0;
   	   for (int i=1;i*i<=n;i++)
   	   {
   	   	  if (n%i==0)
   	   	  {
   	   	  	 ans=(ans+qsm(n,i)*getphi(n/i)%mod)%mod;
   	   	  	 if (i*i!=n) ans=(ans+qsm(n,n/i)*getphi(i)%mod)%mod;
   	   	  }
       }
       cout<<ans*qsm(n,mod-2)%mod<<"\n";
   }
   return 0;
}