深入理解计算机系统(第二版) 家庭作业 第二章

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2.55-2.57 

略

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2.58

int is_little_endian(){
    int a = 1;
    return *((char*)&a);
}

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2.59

(x&0xFF) | (y&~0xFF)

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2.60

unsigned replace_byte(unsigned x, unsigned char b, int i)
{
    return (x & ~(0xFF<<(i<<3))) | (b << (i<<3));
}

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2.61

A. !~x

B. !x

C. !~(x>>((sizeof(int)-1)<<3))

D. !(x&0xFF)

注意，英文版中C是最低字节，D是最高字节。中文版恰好反过来了。这里是按中文版来做的。

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2.62

这里我感觉应该是英文版对的，int_shifts_are_arithmetic()

int int_shifts_are_arithmetic(){
    int x = -1;
    return (x>>1) == -1;
}

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2.63

对于sra，主要的工作是将xrsl的第w-k-1位扩展到前面的高位。

这个可以利用取反加1来实现，不过这里的加1是加1<<(w-k-1)。

如果x的第w-k-1位为0，取反加1后，前面位全为0，如果为1，取反加1后就全是1。

最后再使用相应的掩码得到结果。

对于srl，注意工作就是将前面的高位清0，即xsra & (1<<(w-k) - 1)。额外注意k==0时，不能使用1<<(w-k)，于是改用2<<(w-k-1)。

 
int sra(int x, int k){
    int xsrl = (unsigned) x >> k;
    int w = sizeof(int) << 3;
    unsigned z = 1 << (w-k-1);
    unsigned mask = z - 1;
    unsigned right = mask & xsrl;
    unsigned left = ~mask & (~(z&xsrl) + z);
    return left | right;
}

int srl(unsigned x, int k){
    int xsra = (int) x >> k;
    int w = sizeof(int)*8;
    unsigned z = 2 << (w-k-1);
    return (z - 1) & xsra;
}

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2.64

int any_even_one(unsigned x){
    return !!(x & (0x55555555));
}

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2.65

int even_ones(unsigned x){
    x ^= (x >> 16);
    x ^= (x >> 8);
    x ^= (x >> 4);
    x ^= (x >> 2);
    x ^= (x >> 1);
    return !(x&1);
} 

x的每个位进行异或，如果为0就说明是偶数个1，如果为1就是奇数个1。

那么可以想到折半缩小规模。最后一句也可以是 return (x^1)&1

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2.66

根据提示想到利用或运算，将最高位的1或到比它低的每一位上，忽然想如果x就是10000000..该如何让每一位都为1。于是便想到了二进扩展。先是x右移1位再和原x进行或，变成1100000...，再让结果右移2位和原结果或，变成11110000...，最后到16位，变成11111111...。

int leftmost_one(unsigned x){
    x |= (x >> 1);
    x |= (x >> 2);
    x |= (x >> 4);
    x |= (x >> 8);
    x |= (x >> 16);
    return x^(x>>1);
}

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2.67

A.32位机器上没有定义移位32次。

B.beyond_msb变为 2<<31。

C.定义 a = 1<<15; a<<=15; set_msb = a<<1; beyond_msb = a<<2;

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2.68

感觉中文版有点问题，注释和函数有点对应不上，于是用英文版的了。

个人猜想应该是让x的最低n位变1。

int lower_one_mask(int n){
    return (2<<(n-1)) - 1;
}

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2.69

unsigned rotate_right(unsigned x, int n){
    int w = sizeof(unsigned)*8;
    return (x>>n) | (x<<(w-n-1)<<1);
}

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2.70

这一题是看x的值是否在 - 2^(n-1) 到 2^(n-1) - 1之间。

如果x满足这个条件，则其第n-1位就是符号位。如果该位为0，则前面的w-n位均为0，如果该位为1，则前面的w-n位均为1。所以本质是判断，x的高w-n+1位是否为0或者为-1。

int fits_bits(int x, int n){
    x >>= (n-1);
    return !x || !(~x);
}

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2.71

A.得到的结果是unsigned，而并非扩展为signed的结果。

B.使用int，将待抽取字节左移到最高字节，再右移到最低字节即可。

int xbyte(unsigned word, int bytenum){
    int ret = word << ((3 - bytenum)<<3);
    return ret >> 24;
}

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2.72

A.size_t是无符号整数，因此左边都会先转换为无符号整数，它肯定是大于等于0的。

B.判断条件改为if(maxbytes > 0 && maxbytes >= sizeof(val))

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2.73

请先参考2.74题。

可知：t = a + b时，如果a，b异号（或者存在0），则肯定不会溢出。

如果a，b均大于等于0，则t<0就是正溢出，如果a，b均小于0，则t>=0就是负溢出。

于是，可以利用三个变量来表示是正溢出，负溢出还是无溢出。

int saturating_add(int x, int y){
    int w = sizeof(int)<<3;
    int t = x + y;
    int ans = x + y;
    x>>=(w-1);
    y>>=(w-1);
    t>>=(w-1);
    int pos_ovf = ~x&~y&t;
    int neg_ovf = x&y&~t;
    int novf = ~(pos_ovf|neg_ovf);
    return (pos_ovf & INT_MAX) | (novf & ans) | (neg_ovf & INT_MIN);
} 

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2.74

对于有符号整数相减，溢出的规则可以总结为：

t = a-b;

如果a, b 同号，则肯定不会溢出。

如果a>=0 && b<0，则只有当t<=0时才算溢出。

如果a<0 && b>=0，则只有当t>=0时才算溢出。

不过，上述t肯定不会等于0，因为当a，b不同号时：

1) a!=b，因此a-b不会等于0。

2) a-b <= abs(a) + abs(b) <= abs(TMax) + abs(TMin)=(2^w - 1)

所以，a，b异号，t，b同号即可判定为溢出。

int tsub_ovf(int x, int y){
    int w = sizeof(int)<<3;
    int t = x - y;
    x>>=(w-1);
    y>>=(w-1);
    t>>=(w-1);
    return (x != y) && (y == t);
}

顺便整理一下汇编中CF，OF的设定规则(个人总结，如有不对之处，欢迎指正)。

t = a + b;

CF: (unsigned t) < (unsigned a) 进位标志

OF: (a<0 == b<0) && (t<0 != a<0)

t = a - b;

CF: (a<0 && b>=0) || ((a<0 == b<0) && t<0) 退位标志

OF: (a<0 != b<0) && (b<0 == t<0)

汇编中，无符号和有符号运算对条件码（标志位）的设定应该是相同的，但是对于无符号比较和有符号比较，其返回值是根据不同的标志位进行的。

详情可以参考第三章3.6.2节。

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2.75

根据2-18，不难推导， (x'*y')_h = (x*y)_h + x(w-1)*y + y(w-1)*x。

unsigned unsigned_high_prod(unsigned x, unsigned y){
    int w = sizeof(int)<<3;
    return signed_high_prod(x, y) + (x>>(w-1))*y + x*(y>>(w-1));
}

当然，这里用了乘法，不属于整数位级编码规则，聪明的办法是使用int进行移位，并使用与运算。即 ((int)x>>(w-1)) & y 和 ((int)y>>(w-1)) & x。

注：不使用long long来实现signed_high_prod(int x, int y)是一件比较复杂的工作，而且我不会只使用整数位级编码规则来实现，因为需要使用循环和条件判断。

下面的代码是计算两个整数相乘得到的高位和低位。

int uadd_ok(unsigned x, unsigned y){
    return x + y >= x;
}

void signed_prod_result(int x, int y, int &h, int &l){
    int w = sizeof(int)<<3;
    h = 0;
    l = (y&1)?x:0;
    for(int i=1; i         if( (y>>i)&1 ) {
            h += (unsigned)x>>(w-i);
            if(!uadd_ok(l, x<             l += (x<         }
    }
    h = h + ((x>>(w-1))*y) + ((y>>(w-1))*x);
}

最后一步计算之前的h即为unsigned相乘得到的高位。

sign_h = unsign_h - ((x>>(w-1)) & y) - ((y>>(w-1)) & x);

sign_h = unsign_h + ((x>>(w-1)) * y) + ((y>>(w-1)) * x);

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2.76

A. K=5: (x<<2) + x

B. K=9: (x<<3) + x

C. K=30: (x<<5) - (x<<1)

D. K=-56: (x<<3) - (x<<6)

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2.77

先计算x>>k，再考虑舍入。

舍入的条件是x<0&&x的最后k位不为0。

int divide_power2(int x, int k){
    int ans = x>>k;
    int w = sizeof(int)<<3;
    ans += (x>>(w-1)) && (x&((1<1));
    return ans;
} 

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2.78

这相当于计算((x<<2) + x) >> 3，当然，需要考虑x为负数时的舍入。

先看上述表达式，假设x的位模式为[b(w-1), b(w-2), ... , b(0)]，那么我们需要计算：

[b(w-1),b(w-2),b(w-3),   ...    ,b(0),  0,    0]

+             [b(w-1),b(w-2),...,b(2),  b(1), b(0)]

最后需要右移3位。因此我们可以忽略下方的b(1),b(0)。

于是就计算(x>>2) + x，再右移一位即是所求答案。

不过考虑到(x>>2) + x可能也会溢出，于是就计算(x>>3) + (x>>1)，这个显然是不会溢出的。再看看b(0)+b(2)会不会产生进位，如果产生进位，则再加一。

最后考虑负数的舍入。负数向0舍入的条件是x<0 && ((x<<2)+x 的后三位不全为0)。满足舍入条件的话，结果再加1。容易证明，加法后三位不全为0可以等价为x后三位不全为0。

    
int mul5div8(int x){
    int b0 = x&1, b2 = (x>>2)&1;
    int ans = (x>>3) + (x>>1);
    int w = sizeof(int)<<3;
    ans += (b0&b2);
    ans += ((x>>(w-1)) && (x&7));
    return ans;
} 

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2.79

不懂题意，感觉就是2.78。

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2.80

A. 1[w-n]0[n]:  ~((1<

B. 0[w-n-m]1[n]0[m]: ((1<

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2.81

A. false，当x=0,y=TMin时，x > y，而-y依然是Tmin，所以-x > -y。

B. true，补码的加减乘和顺序无关（如果是右移，则可能不同）。

C. false，当x=-1, y=1时，~x + ~y = 0xFFFFFFFE，而~(x+y) == 0xFFFFFFFF。

D. true，无符号和有符号数的位级表示是相同的。

E. true，最后一个bit清0，对于偶数是不变的，对于奇数相当于-1，而TMin是偶数，因此该减法不存在溢出情况。所以左边总是<=x。

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2.82

A. 令x为无穷序列表示的值，可以得到x*2^k = Y + x。

所以 x = Y/(2^k - 1)。

B. (a)1/7, (b)9/15 = 3/5, (c)7/63 = 1/9

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2.83

浮点数的一个特点就是，如果大于0，则可以按unsigned位表示的大小排序。

如果小于0则相反。注意都为0的情况即可。

所以条件是：

((ux<<1)==0 && (uy<<1)==0) || 

(!sx && sy) || 

(!sx && !sy && ux >= uy) ||

(sx && sy && ux <= uy);

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2.84

A. 5.0，5表示为101，因此位数M就是1.01为1.25，小数f为0.01 = 0.25。指数部分应该为E=2，所以其指数部分位表示为e=(2^(k-1)-1) + 2 = 2^(k-1)+1。

位表示三个部分分别是s-e-f，为0-10..01-0100..0。

B.能被准确描述的最大奇数，那么其M=1.111..1，故f部分全为1，E应该为n。当然，这个假设在2^(k-1)>=n的情况下才能成立。这时，s=0,e=n+2^(k-1)-1,f=11...1。值为2^(n+1)-1。

C.最小的规格化数为2^(1-bias)即2^(-2^(k-1)+2)，所以其倒数值V为2^(2^(k-1)-2)，所以M为1.00000，f部分为全0，E=2^(k-1)-2，e部分为2^(k-1)-2 + bias = 2^k - 3，即为11..101。位表示为0-11..101-00..0。

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2.85

描述	扩展精度
	值	十进制
最小的正非规格化数	2^(-63)*2^(-2^14+2)	3.6452e-4951
最小的正规格化数	2^(-2^14+2)	3.3621e-4932
最大的规格化数	(2^64-1)*2^(2^14-1-63)	1.1897e+4932

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2.86

描述	Hex	M	E	V
-0	0x8000	0	-62	--
最小的值>1	0x3F01	257/256	0	257*2^(-8)
256	0x4700	1	8	--
最大的非规格化数	0x00FF	255/256	-62	255*2^(-70)
-inf	0xFF00	--	--	--
Hex为0x3AA0	0x3AA0	416/256	-5	416*2^（-13）=13*2^(-8)

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2.87

格式A		格式B
位	值	位	值
1 01110 001	-9/16	1 0110 0010	-9/16
0 10110 101	208	0 1110 1010	208
1 00111 110	-7/1024	1 0000 0111	-7/1024
0 00000 101	6/2^17	0 0000 0000	0
1 11011 000	-4096	1 1111 0000	-inf
0 11000 100	768	0 1111 0000	inf

没有特别明白转换成最接近的，然后又说向+inf舍入的含义。

按理说，舍入到+inf就是向上舍入，而并不是找到最接近的。

表格中是按最接近的进行舍入，并且如果超出范围则认为是inf。

如果都按+inf进行舍入，那么第四行格式B将是0 0000 0001。

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2.88

A. false，float只能精确表示最高位1和最低位的1的位数之差小于24的整数。所以当x==TMAX时，用float就无法精确表示，但double是可以精确表示所有32位整数的。

B. false，当x+y越界时，左边不会越界，而右边会越界。

C. true，double可以精确表示所有正负2^53以内的所有整数。所以三个数相加可以精确表示。

D. false，double无法精确表示2^64以内所有的数，所以该表达式很有可能不会相等。虽然举例子会比较复杂，但可以考虑比较大的值。

E. false，0/0.0为NaN，(非0)/0.0为正负inf。同号inf相减为NaN，异号inf相减也为被减数的inf。

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2.89

float的k=8, n=23。 bias = 2^7 - 1 = 127。

最小的正非规格化数为2^(1-bias-n) = 2^-149。

最小的规格化数为2^(0-bias)*2 = 2^-126。

最大的规格化数（二的幂）为2^(2^8-2 - bias) = 2^127。

因此按各种情况把区间分为[TMin, -148] [-149, -125] [-126, 127] [128, TMax]。

float fpwr2(int x)
{
    /* Result exponent and fraction */
    unsigned exp, frac;
    unsigned u;
    if (x < -149) {
        /* Too small. Return 0.0 */
        exp = 0;
        frac = 0;
    } else if (x < -126) {
        /* Denormalized result */
        exp = 0;
        frac = 1<<(x+149);
    } else if (x < 128) {
        /* Normalized result. */
        exp = x + 127;
        frac = 0;
    } else {
        /* Too big. Return +oo */
        exp = 255;
        frac = 0;
    }
    /* Pack exp and frac into 32 bits */
    u = exp << 23 | frac;
    /* Return as float */
    return u2f(u);
}

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2.90

A.pi的二进制数表示为：0 10000000 10010010000111111101011，E=128-127=1，

它表示的二进制小数值为：11.0010010000111111101011

B.根据2.82，可知1/7的表示为0.001001[001]...，

所以22/7为11.001001001001001[001]...

C.从第9位开始不同。

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为了方便测试2.91-2.94，我写了几个公共函数。

typedef unsigned float_bits;

float u2f(unsigned x){
    return *((float*)&x);
}
unsigned f2u(float f){
    return *((unsigned*)&f);
}

bool is_float_equal(float_bits f1, float f2){
    return f2u(f2) == f1;
}

bool is_nan(float_bits fb){
    unsigned sign = fb>>31;
    unsigned exp = (fb>>23) & 0xFF;
    unsigned frac = fb&0x7FFFFF;
    return exp == 0xFF && frac != 0;
}

bool is_inf(float_bits fb){
    unsigned sign = fb>>31;
    unsigned exp = (fb>>23) & 0xFF;
    unsigned frac = fb&0x7FFFFF;
    return exp == 0xFF && frac == 0;
}

int testFun( float_bits(*fun1)(float_bits),  float(*fun2)(float)){
    unsigned x = 0;
    do{ //test for all 2^32 value
        float_bits fb = fun1(x);
        float ff = fun2(u2f(x));
        if(!is_float_equal(fb, ff)){
            printf("%x error\n", x);
            return 0;
        }
        x++;
    }while(x!=0);

    printf("Test OK\n"); 
    return 1;

}

最后的testFun是用来测试fun1和fun2是否对每种可能的输入都输出相同的值，fun1为题中所要求的函数，fun2为float版本。这个函数大概会运行2到3分钟，也可以写多线程，利用多核处理器求解。 

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2.91

float_bits float_absval(float_bits f){
    if(is_nan(f)) return f;
    else return f & 0x7FFFFFFF;
}
float float_absval_f(float f){
    if(is_nan(f2u(f))) return f;
    else return fabs(f);

}

测试即调用testFun(float_absval, float_absval_f);

在测试的时候发现0x7F800001的时候不对了。

后来debug了一下，发现u2f的时候，会篡改原值。

即令x = 0x7F800001。

则f2u(u2f(x))会变成0x7FC00001。奇怪的nan，第22位一定是1。

我将f2u和u2f里用memcpy也同样是不行。

所以，我将testFun中的一个条件变成了：

if(!is_float_equal(fb, ff) && !is_nan(fb))

这个bug实在是不知道怎么回事。想了想，这和高位低位排列是无关的。这个bug还是之后再找吧。也有可能是硬件本身的原因了。

注：C库中也提供了isnan()函数。

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2.92

float_bits float_negate(float_bits f){
    if(is_nan(f)) return f;
    else return f^0x80000000;
}

float float_negate_f(float f){
    if(isnan(f)) return f;
    return -f;

}

就是将最高位反位。

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2.93

float_bits float_half(float_bits f){
    unsigned sign = f>>31;
    unsigned exp = (f>>23) & 0xFF;
    unsigned frac = f&0x7FFFFF;
    if(exp == 0) return sign<<31 | ((frac>>1) + ((frac&1)&&((frac>>1)&1)));
    else if(exp == 1) return sign<<31 | (( (1<<22) | (frac>>1)) + ((frac&1)&&((frac>>1)&1))) ;
    else if(exp != 255) return sign<<31 | (exp-1) << 23 | frac;
    else return f;
}

float float_half_f(float f){
    if(!isnan(f)) return (float)0.5*f;
    else return f;

}

需要注意的是，舍入采用的是向偶数舍入。这也是我在测试的过程中发现的。（好吧，书上在浮点数位级编码规则中说过了，眼残没看到）

最后，非规格化的平滑效果让exp==1时的程序变得比较简洁。

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2.94

float_bits float_twice(float_bits f){
    unsigned sign = f>>31;
    unsigned exp = (f>>23) & 0xFF;
    unsigned frac = f&0x7FFFFF;
    if(exp == 0) return sign<<31 | frac<<1;
    else if(exp < 254) return sign<<31 | (exp+1)<<23 | frac;
    else if(exp == 254) return sign<<31 | 0xFF<<23;
    else return f;
}

float float_twice_f(float f){
    if(!isnan(f)) return (float)2*f;
    else return f;

}

比float_half简单一些。对于非规格化的平滑，使用移位就可以了，对于规格化，只要exp+1即可，当然，如果exp==254，就要返回inf了。

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2.95

float_bits float_i2f(int i)
{
    if(i == 0) return 0;
    unsigned x = i>0?i:-i;
    int sign = i>0?0:1;
    int w = sizeof(int)<<3;
    int j;
    for(j=w-1; j>=0; j--){ //找到最高位
        if( (x>>j) & 1) break;
    }
    unsigned bias = 127;
    unsigned exp, frac;
    exp = bias + j;
    if(j <= 23) frac = x<<(23-j);
    else {
        frac = x>>(j-23);
        unsigned mask = (1<<(j-23)) - 1;
        if( (x&mask) > (1<<(j-24)) ) frac++; //需要舍入到大值
        else if( (x&mask) == 1<<(j-24)  &&  (frac&1)) frac++; //舍入到偶数
        if(frac == (1<<24)) exp++; //舍入到偶数超过(1<<24) - 1，指数需要再加1
    }
    return sign<<31 | exp<<23 | frac&0x7FFFFF;
}

void test(){
    int x = 0;
    do{
        float_bits fb = float_i2f(x);
        float ff = (float)x;
        if(!is_float_equal(fb, ff)){
            printf("error in %d:  %x %x\n", x, fb, f2u(ff));
            return;
        }
        x++;
    }while(x!=0);
    printf("Test OK\n");

}

无耻地使用了循环。我也是一点一点测试修改，才通过的。不过好在大方向都知道，所以没有花多少时间，主要纠结点还是在舍入那块。需要特别注意。

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2.96

int float_f2i(float_bits f){
    unsigned sign = f>>31;
    int exp = (f>>23) & 0xFF;
    int frac = (f&0x7FFFFF) | (1<<23);
    exp -= 127;
    if(exp < 0) return 0;
    if(exp >= 31) return 0x80000000; //绝对值不大于2^31（1<<31）
    if(exp > 23) frac <<= (exp - 23);
    else frac >>= (23 - exp);
    return sign? -frac : frac;
}

void test2(){
    int x = 0;
    do{
        int m = float_f2i(x);
        int n = (int)u2f(x);
        if(m != n){
            printf("error in %x:  %d %d\n", x, m, n);
            return;
        }
        x++;
    }while(x!=0);
    printf("Test OK\n");

}

在exp<0和>=31上犯了小错误。开始写成<=0和>=32了。

其实1这个整数就是exp==0的。

而int绝对值不会超过2^31-1，因此1.0000..小数点右移不会到超过30次（否则就越界了），所以exp<=30。而这里刚好用TMin来表示越界，因此不用关心TMin的表示。

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