数论函数&狄利克雷卷积

开坑卷积……

数论函数

• 数论函数是定义域在正整数的函数。
• 积性函数： f(ab)=f(a)f(b),gcd(a,b)=1 ，完全积性函数： f(ab)=f(a)f(b) 。
• 常见积性函数： φ(n) ，μ(n) （莫比乌斯函数）， d(n) （因子个数）， σ(n) （因子和）。
• 常见完全积性函数： Idk(n)=nk ， 1(n)=Id0(n) ，Id(n)=Id1(n) 。
• 单位函数 ： e(n)=[n=1] 。

这里说一下莫比乌斯函数的定义：

• 当 n 有形如 d2 的因子（平方因子）时， μ(n)=0 。
• 否则假设 n 有 k 个素因子， μ(n)=(−1)k 。

狄利克雷卷积

定义两个函数 f(n),g(n) 的狄利克雷卷积(∗)为：

(f∗g)(n)=∑d|nf(d)g(nd)

满足交换律，结合律，分配律以及 f∗e=f ，都挺显然的。

这定义也是够奇怪了，然后就可以搞很多事情：

d(n)=∑d|n1(d)1(nd)=(1∗1)(n)σ(n)=∑d|nId(d)1(nd)=(Id∗1)(n)e=μ∗1

最后一个很有用，详细证明一下。设 n 的不同素因子个数为 k ，则：

∑d|nμ(d)=∑i=0k(−1)i(ki)

也就是选 i 个不同的素因子乘起来，如果选了奇数个，那么贡献是 −1 ，否则是 1 ，方案为 (ki) 。

根据二项式展开：

(x+y)k=∑i=0kxiyk−i(ki)

代 x=1,y=−1 进去，那么：

∑i=0k(−1)i(ki)=(1−1)k=0k

所以当 k=0 即 n=1 时，原式为 1 ，否则为 0 。这就是单位函数的定义，得证。