CodeForces 568 B.Symmetric and Transitive（dp+生成函数+FFT）
Description
找出 n n 个点的二元关系中满足对称性和传递性但不满足自反性的个数
Input
一个整数 n(1≤n≤4000) n ( 1 ≤ n ≤ 4000 )
Output
输出满足条件的二元关系数，结果模 109+7 10 9 + 7
Sample Input
1
Sample Output
1
Solution1
把二元关系看作边，那么一个连通块里的点满足自反对称传递，只有存在单点集的图才对应一个合法的二元关系，枚举从 1 1 到 n n 枚举单点的个数，那么剩下的点可以任意划分，即贝尔数，下面考虑求出 i i 个点分出 j j 个连通块的方案数 dp[i][j] d p [ i ] [ j ] ，考虑第 i i 个元素，要么新开一个连通块，要么并到之前的 j j 个连通块中，故有转移方程 dp[i][j]+=dp[i−1][j−1]+j⋅dp[i−1][j] d p [ i ] [ j ] + = d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] + j ⋅ d p [ i − 1 ] [ j ] ，令 f[i]=∑j=1idp[i][j] f [ i ] = ∑ j = 1 i d p [ i ] [ j ] ，则 f[i] f [ i ] 表示将 i i 个点分成若干连通块的方案数，答案即为 ∑i=1nCin⋅f[i] ∑ i = 1 n C n i ⋅ f [ i ] ，时间复杂度 O(n2) O ( n 2 )
Code1
#include*f[i]%mod)%mod;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
Solution2
将 n n 个点及它们之间的二元关系看作一张无向图，问题转化为求没有自环且满足传递性的无向图个数，考虑每个连通块：规模为 1 1 的连通块有两种：单点集和自环，规模超过 1 1 的连通块只有一种，即完全图
先不考虑点的编号，则一个连通块的生成函数为 A(x)=2⋅x1!+x22!+x33!+...=ex+x−1 A ( x ) = 2 ⋅ x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . = e x + x − 1 ，若干连通块组成的图的指数型生成函数即为 eA(x)=eex+x−1 e A ( x ) = e e x + x − 1 ；若干不是自环的连通块组成的图的生成函数即为 A(x)−x A ( x ) − x ，故其指数型生成函数为 eex−1 e e x − 1 。进而答案的生成函数为 B(x)=eex+x−1−eex−1=(ex−1)⋅eex−1=f(x)⋅ef(x) B ( x ) = e e x + x − 1 − e e x − 1 = ( e x − 1 ) ⋅ e e x − 1 = f ( x ) ⋅ e f ( x ) ，故只要对 f(x) f ( x ) 求一下多项式 exp e x p 然后和自身乘一下即可，此时考虑节点编号，答案即为 n!⋅[xn]B(x) n ! ⋅ [ x n ] B ( x ) ，时间复杂度 O(nlogn) O ( n l o g n )
Code2
#includefor(int i=0;ipos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<*x,int len,int sta)
{
for(int i=0;iif(i<pos[i])swap(x[i],x[pos[i]]);
w[0]=(cp){1,0};
for(unsigned i=2;i<=len;i<<=1)
{
cp g=(cp){cos(2*pi/i),sin(2*pi/i)*sta};
for(int j=i>>1;j>=0;j-=2)w[j]=w[j>>1];
for(int j=1;j>1;j+=2)w[j]=w[j-1]*g;
for(int j=0;j*a=x+j,*b=a+(i>>1);
for(int l=0;l>1;l++)
{
cp o=b[l]*w[l];
b[l]=a[l]-o;
a[l]=a[l]+o;
}
}
}
if(sta==-1)for(int i=0;ix[i].a/=len,x[i].b/=len;
}
cp x[maxfft],y[maxfft],z[maxfft];
int temp[maxfft];
void FFT(int *a,int *b,int n,int m,int *c)
{
if(n<=100&&m<=100||min(n,m)<=5)
{
for(int i=0;im-1;i++)temp[i]=0;
for(int i=0;ifor(int j=0;j<m;j++)
{
temp[i+j]+=(ll)a[i]*b[j]%mod;
if(temp[i+j]>=mod)temp[i+j]-=mod;
}
for(int i=0;im-1;i++)c[i]=temp[i];
return ;
}
int len=1;
while(lenm)len<<=1;
fft_init(len);
for(int i=0;iint aa=i0,bb=i<m?b[i]:0;
x[i]=(cp){(aa>>15),(aa&32767)},y[i]=(cp){(bb>>15),(bb&32767)};
}
fft(x,len,1),fft(y,len,1);
for(int i=0;iint j=len-1&len-i;
z[i]=((x[i]+!x[j])*(y[i]-!y[j])+(x[i]-!x[j])*(y[i]+!y[j]))*(cp){0,-0.25};
}
fft(z,len,-1);
for(int i=0;im-1;i++)
{
ll ta=(ll)(z[i].a+0.5)%mod;
ta=(ta<<15)%mod;
c[i]=ta;
}
for(int i=0;iint j=len-1&len-i;
z[i]=(x[i]-!x[j])*(y[i]-!y[j])*(cp){-0.25,0}+(x[i]+!x[j])*(y[i]+!y[j])*(cp){0,0.25};
}
fft(z,len,-1);
for(int i=0;im-1;i++)
{
ll ta=(ll)(z[i].a+0.5)%mod,tb=(ll)(z[i].b+0.5)%mod;
ta=(ta+(tb<<30))%mod;
c[i]=(c[i]+ta)%mod;
}
}
int Pow(int a,int b)
{
int ans=1;
while(b)
{
if(b&1)ans=(ll)ans*a%mod;
a=(ll)a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
int inv[maxfft],sum[maxfft];
void init(int n=8192)
{
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mod-(ll)(mod/i)*inv[mod%i]%mod;
sum[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=(ll)sum[i-1]*inv[i]%mod;
}
int temp1[maxfft],temp2[maxfft],temp3[maxfft];
void Poly_Inv(int *poly,int n,int *ans)
{
ans[0]=Pow(poly[0],mod-2);//inv[poly[0]];
for(int i=2;i<=n;i<<=1)
{
FFT(poly,ans,i,i/2,temp1);
FFT(ans,temp1+i/2,i/2,i/2,temp1);
for(int j=0;j2;j++)ans[j+i/2]=temp1[j]==0?0:mod-temp1[j];
}
}
void Poly_Log(int *poly,int n,int *ans)
{
Poly_Inv(poly,n,temp2);
for(int i=0;i1;i++)ans[i]=(ll)poly[i+1]*(i+1)%mod;
FFT(ans,temp2,n-1,n,ans);
for(int i=n-1;i>0;i--)ans[i]=(ll)ans[i-1]*inv[i]%mod;
ans[0]=0;
}
void Poly_Exp(int *poly,int n,int *ans)
{
if(n==1)
{
ans[0]=1;
return ;
}
Poly_Exp(poly,n/2,ans);
Poly_Log(ans,n,temp3);
for(int i=0;iif(temp3[i]<0)temp3[i]+=mod;
}
temp3[0]++;
if(temp3[0]==mod)temp3[0]=0;
FFT(ans,temp3,n,n,ans);
for(int i=n;i<2*n;i++)ans[i]=0;
}
int n,f[maxfft],g[maxfft];
int main()
{
init();
int n;
while(~scanf("%d",&n))
{
memset(f,0,sizeof(f));
int m=1;
while(m<=n)m<<=1;
for(int i=1;i<m;i++)f[i]=sum[i];
Poly_Exp(f,m,g);
FFT(f,g,m,m,f);
int ans=f[n];
for(int i=2;i<=n;i++)ans=(ll)ans*i%mod;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}