[ARC071F] Infinite Sequence

题意

让你构造一个每个数为1~n的无限长的序列，满足：

1. 第n个数与它后面的数都相同

2. 对于每一个数x，它和后面的x个数都相同。

问你有多少种方案。

题解

考虑dp，设$f[i]$代表第i~n位都填好的方案数，倒着dp。

转移分3种情况：

当第i位是1时，$f[i]+=f[i+1]$。

当第i位不是1并且第i+1位也不是1时，这个序列就只能长成$xyyyyyyyyyyyy...$的样子了，其中$x$和$y$可以填任意非1数，所以$f[i]+=(n-1)\ast (n-1)$.

当第i位不是1但是第i+1位是1时，这个序列就长成$x11111S$的样子了，所以对于每一个$x$，$f[i]+=f[i+x+1]$（如果$i+x+1>n$那么$f[i+x+1]=1$），维护一个$f$的后缀和就可以做到$O(1)$转移了。

时间复杂度：$O(n)$。

代码：

#include 
using namespace std;

#define MAXN 1000010
#define mod 1000000007

int n,f[MAXN],add;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    f[n]=n;
    f[n-1]=(long long)n*n%mod;
    for(int i=n-2;i>=1;--i)
    {
        add=(add+f[i+3])%mod;
        f[i]=f[i+1];
        f[i]=(f[i]+(long long)(n-1)*(n-1)%mod)%mod;
        f[i]=(f[i]+add)%mod;
        f[i]=(f[i]+i+1)%mod;
    }
    printf("%d\n",f[1]);
}