【2020年牛客暑假第八场】E题 Enigmatic Partition

题目链接： https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5673/E

题意

数$n$的拆分，要求最大值与最小值相差为2，且相邻两个数之间相差小于1，$f[i]$表示拆分的个数。
有T组测试，每组给出l和r，求出${\sum }_{i=l}^{r}f[i]$。

思路

首先知道$n$是由三个连续自然数之和相加组成的，当然，这三个自然数的个数是不知道的，那么就是求$$f[i]=a\ast l+b\ast (l+1)+c\ast (l+2)（a，b，c\ge 1）$$

方法一

根据标程给的题解，它是枚举$l$，所以这三个数为$l,l+1,l+2$，表示为$l,mid,r$，我们知道两个$mid$可以拆成$l和r$，所以当有$m$个$mid$的时候，就有$(m-1)/2$中拆法，例如：（下面三个数字分别为$l，mid和r的个数$）
$m=5：有2种拆法$
$1，2，1$
$2，0，2$
$m=8：有3种拆法$
$1，5，1$
$2，3，2$
$3，1，3$

为什么$mid$可以等于0，因为之前$m-1$,这个1就是$mid$。
为什么$l和r$不可以等于0，这样的话就不保证$a,c\ge 1$。

这样枚举$l$的过程中，再分别枚举$m$的个数，再枚举往左加$l$的个数和往右加$r$的个数，最后再做个前缀和答案就出来了，不过问题就是$l\le 100$，标程说枚举会比较慢（是非常慢），所以要用dp优化，不过我也不会就咕咕咕了，然后就有了第二种方法。

方法二

应该也算枚举，不过是很巧妙的枚举。我也是看别人的博客才稍微懂一点点点点的。

这里应用了差分的思想。

最后是一阶差分+隔项差分。

参考大佬的博客：
大佬1
大佬2
大佬3

关于差分，可以参考：https://blog.csdn.net/qq_44786250/article/details/100056975

一阶差分就是后一项减去前一项$d[i]=a[i]-a[i-1]$。
隔项差分就是后一项的后一项减去前一项$d[i]=a[i]-a[i-2]$。

然后回到本题。
我们先把式子改变一下。
$m=b1+b2+b3$
$n=a\ast b1+(a+1)\ast b2+(a+2)\ast b3=a\ast (b1+b2+b3)+b2+2b3=am+b2+2b3$
具体细节请看上面三个大佬的博客。
最后我们得出来：
$f[am+3]++，f[(a+1)m+1]--，f[(a+1)m+2]--，f[(a+2)m]++$
这里一定要看图解，不然真的很昏。
只要我们枚举$a和m$之后，然后对上述位置进行加减操作，最后在隔项差分、一阶差分求出原数组，最后在前缀和得出答案。

Code

#include 

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pdd;

#define INF 0x7f7f7f
#define mem(a, b) memset(a , b , sizeof(a))
#define FOR(i, x, n) for(int i = x;i <= n; i++)

// const ll mod = 1e9 + 7;
// const int maxn = 1e5 + 10;
// const double eps = 1e-6;

const int N = 1e5 + 10;

ll f[N * 2];
ll F[N * 2];

void Init()
{
    for(int m = 3;m < N; m++) {
        for(int a = 1;a * m < N; a++) {
            f[a * m + 3]++;
            f[(a + 1) * m + 1]--;
            f[(a + 1) * m + 2]--;
            f[(a + 2) * m]++;
        }
    }

    for(int i = 3;i < N; i++)
        f[i] += f[i - 2];

    for(int i = 2;i < N; i++)
        f[i] += f[i - 1];

    for(int i = 1;i < N; i++)
        F[i] = F[i - 1] + f[i];
}

void solve() {
    Init();
    int Case = 1;
    int T;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << "Case #" << Case++ << ": " << F[r] - F[l - 1] << endl;
    }
}


signed main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
#ifdef ACM_LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
    solve();
#else
    solve();
#endif
    return 0;
}

反思

比赛再也不在一题上花5个小时了，呜呜呜~~~