cf438E The Child and Binary Tree 生成函数+多项式开根+多项式求逆

Description

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我们的小朋友很喜欢计算机科学，而且尤其喜欢二叉树。 考虑一个含有n个互异正整数的序列c[1],c[2],…,c[n]。如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合{c[1],c[2],…,c[n]}中，我们的小朋友就会将其称作神犇的。并且他认为，一棵带点权的树的权值，是其所有顶点权值的总和。 给出一个整数m，你能对于任意的s(1<=s<=m)计算出权值为s的神犇二叉树的个数吗？请参照样例以更好的理解什么样的两棵二叉树会被视为不同的。 我们只需要知道答案关于998244353取模后的值。

输入第一行有2个整数 n,m(1<=n<=10⁵; 1<=m<=10⁵)。 第二行有n个用空格隔开的互异的整数 c[1],c[2],…,c[n]（1<=c[i]<=10⁵)。

输出m行，每行有一个整数。第i行应当含有权值恰为i的神犇二叉树的总数。请输出答案关于998244353取模后的结果。

感谢@Ez3real 提供的翻译

Solution

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实际上还可以分治NTT

考虑答案的生成函数$F(x)$，给定权值的生成函数$G(x)$，可以发现构造二叉树本质上就是选一个左子树卷上一个根节点，再卷上选一个右子树。也就是$F(x)=F^2(x)G(x)+1$，这里的1是补全0次项系数，为了构造儿子为空的方案。
我们解这个方程可以得到$F(x)=\frac{1\pm \sqrt{1-4G(x)}}{2G(x)}$
为了方便计算我们化一下柿子可以得到$\frac{2}{1\pm \sqrt{1-4G(x)})}$
显然$G(x)$的零次项系数为0，那么那个正负号就必须取正的了，也就是$\frac{2}{1+\sqrt{1-4G(x)})}$

然后就是常规的多项式开根、多项式求逆了。

Code

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#include 
#include 
#include 
#include 
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int MOD=998244353;
const LL ny2=499122177;
const int N=400005;

int rev[N],len,lg;

LL a[N],b[N],F[N],G[N];

LL ksm(LL x,LL dep) {
	LL res=1;
	for (;dep;dep>>=1) {
		(dep&1)?(res=res*x%MOD):0;
		x=x*x%MOD;
	}
	return res;
}

void NTT(LL *a,int f) {
	for (int i=0;i<len;++i) if (i<rev[i]) std:: swap(a[i],a[rev[i]]);
	for (int i=1;i<len;i<<=1) {
		LL wn=(f==1)?ksm(3,(MOD-1)/i/2):ksm(3,MOD-1-(MOD-1)/i/2);
		for (int j=0;j<len;j+=(i<<1)) {
			LL w=1;
			for (int k=0;k<i;++k) {
				LL u=a[j+k],v=a[j+k+i]*w%MOD;
				a[j+k]=(u+v)%MOD;
				a[j+k+i]=(u+MOD-v)%MOD;
				w=w*wn%MOD;
			}
		}
	}
	if (f==-1) {
		LL ny=ksm(len,MOD-2);
		for (int i=0;i<len;++i) a[i]=a[i]*ny%MOD;
	}
}

void get_inv(LL *a,int n) {
	if (n==1) return (void) (G[0]=ksm(F[0],MOD-2));
	get_inv(a,n/2);
	for (len=1,lg=0;len<=n;len<<=1,lg++);
	for (int i=0;i<len;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
	for (int i=0;i<len;++i) b[i]=0;
	for (int i=0;i<n;++i) b[i]=a[i];
	NTT(b,1); NTT(G,1);
	for (int i=0;i<len;++i) G[i]=(2+MOD-G[i]*b[i]%MOD)%MOD*G[i]%MOD;
	NTT(G,-1);
	for (int i=n;i<len;++i) G[i]=0;
}

void get_sqr(LL *a,int n) {
	if (n==1) return (void) (F[0]=1);
	get_sqr(a,n/2);
	get_inv(F,n);
	for (int i=0;i<n;++i) G[i]=G[i]*ny2%MOD;
	for (len=1,lg=0;len<n;len<<=1,lg++);
	for (int i=0;i<len;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
	NTT(F,1);
	for (int i=0;i<len;++i) F[i]=F[i]*F[i]%MOD;
	NTT(F,-1);
	for (int i=0;i<n;++i) F[i]=(F[i]+a[i])%MOD;
	len<<=1,lg++;
	for (int i=0;i<len;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
	NTT(F,1); NTT(G,1);
	for (int i=0;i<len;++i) F[i]=F[i]*G[i]%MOD;
	NTT(F,-1);
	for (int i=0;i<len;++i) G[i]=0;
	for (int i=n;i<len;++i) F[i]=0;
}

int main(void) {
	int n,m,wjp=1; scanf("%d%d",&n,&m);
	rep(i,1,n) {
		int x; scanf("%d",&x);
		if (x<=m) a[x]=(a[x]-4)%MOD;
	}
	a[0]=(a[0]+1)%MOD;
	for (;wjp<=m;wjp<<=1);
	get_sqr(a,wjp);
	F[0]=(F[0]+1)%MOD;
	get_inv(F,wjp);
	rep(i,1,m) printf("%lld\n", G[i]*2%MOD);
	return 0;
}