lcm/gcd

A(n)=∑ni=1lcm(i,n)gcd(i,n) , F(n)=∑ni=1A(i) ,求 F(n) %1000000007

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A(n)=∑i=1nlcm(i,n)gcd(i,n)=∑i=1nn∗i(i,n)2=∑i=1n∑d|n[(i,n)=d]n∗id2=∑d|n∑i=1[nd][(i,nd)=1]n∗id=∑d|nd∑i=1d[(i,d)=1]∗i=12(1+∑d|nd2φ(d))

实即求 ∑ni=1∑d|id2φ(d)=∑ni=1∑[ni]d=1d2φ(d) .
令 ϕ′(n)=∑ni=1i2φ(i) .

由于：

∑d|nd2φ(d)∗(nd)2=n2∑d|nφ(d)=n3

所以：

∑i=1ni3=(n(n+1)2)2=∑i=1n∑d|id2φ(d)∗(id)2=∑i=1ni2∑d=1[ni]d2φ(d)=∑i=1ni2ϕ′([ni])

所以得出： ϕ′(n)=(n(n+1)2)2−∑ni=2i2ϕ′([ni]) ,可以先预处理前 n2/3 ,原问题可以再 O(n2/3log(n)) 解决。